Name: Ecuaciones matriciales
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1Hallar el rango de la matriz siguiente obteniendo las filas linealmente independientes:

$\text{[math]}$

Hallar el rango de la matriz siguiente obteniendo las filas linealmente independientes:

$\text{[math]}$

Recordemos que denotamos la i-ésima fila como F_i. Dicho esto, procedamos a obtener las filas linealmente independientes (no nulas). Para esto, las analizaremos en orden.

- $\text{[math]}$

- $\text{[math]}$ . No existe ningún número real $\text{[math]}$ tal que $\text{[math]}$ , por lo tanto son linealmente independiente.

- $\text{[math]}$ . Notemos que $\text{[math]}$ , por lo tanto no son linealmente independientes.

- $\text{[math]}$ . Esta fila es nula (todas sus entradas son $\text{[math]}$ ).

$\text{[math]}$ . Tenemos que $\text{[math]}$ , por lo tanto tampoco es linealmente independiente con $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ .

Dado lo anterior, tenemos que solo tenemos $\text{[math]}$ filas linealmente independientes, $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , así, nuestro rango es $\text{[math]}$ .

2Calcular por el método de Gauss-Jordan el rango de la matriz siguiente:

$\text{[math]}$

Calcular por el método de Gauss-Jordan el rango de la matriz siguiente:

$\text{[math]}$

Recordemos que el rango es igual a la cantidad de filas no nulas obtenidas al finalizar el proceso de Gauss. Así, empecemos con el proceso

- $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$

- $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$

- $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Así, nuestra matriz final es

$\text{[math]}$

La cual tiene dos filas no nulas, por lo tanto, tenemos que $\text{[math]}$ .

3Calcular por el método de Gauss-Jordan el rango de la matriz siguiente:

$\text{[math]}$

Calcular por el método de Gauss-Jordan el rango de la matriz siguiente:

$\text{[math]}$

Recordemos que el rango es igual a la cantidad de filas no nulas obtenidas al finalizar el proceso de Gauss. Así, empecemos con el proceso

- $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$

- $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Podríamos seguir con el método, pero no es necesario ya que no podemos hacer $\text{[math]}$ o $\text{[math]}$ nulas restándoles algún multiplo de $\text{[math]}$ . Por lo tanto, nuestra matriz final es

$\text{[math]}$

La cual tiene tres filas no nulas, por lo tanto, tenemos que $\text{[math]}$ .

4Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

$\text{[math]}$

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

$\text{[math]}$

Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula, por lo tanto, calculando los rangos obtenemos que:

- Submatrices dimensión 1. Tenemos que como la matriz no es nula, entonces, existe alguna submatriz de dimensión uno con determinante distinto de 0, por ejemplo:
  
  $\text{[math]}$

- Submatrices dimensión 2. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 2. Así, notemos que
  
  $\text{[math]}$
  
  Por lo tanto, la dimensión es, por lo menos, 2.

Submatrices dimensión 3. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 3. Notemos que

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Como todas las submatrices de dimensión tres tienen determinante nulo, entonces el rango de la matriz es $\text{[math]}$ .

Dado lo anterior, tenemos que $\text{[math]}$ .

5Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

$\text{[math]}$

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

$\text{[math]}$

Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Ahora bien, notemos que dado que la dimensión de $\text{[math]}$ , por lo tanto el rango es cuando mucho 4. Ahora bien, si encontramos un submatriz de dimensión $\text{[math]}$ con determinante distinto no cero, entonces el rango sería $\text{[math]}$ . Dicho lo anterior, notemos que:

$\text{[math]}$

Por lo tanto, tenemos que $\text{[math]}$ .

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

$\text{[math]}$

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

$\text{[math]}$

Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Además, podemos eliminar las columnas, o filas, nulas o que sean linealmente dependientes a otras. Notemos que la tercer columna es nula, la cuarta columna es un múltiplo de la primera ( $\text{[math]}$ ), por último, tenemos que la quinta columna es una combinación lineal de la primera y la segunda ( $\text{[math]}$ ). Dicho lo anterior, solo nos quedamos con las primeras dos columnas:

$\text{[math]}$

Notemos que de esta matriz cuando mucho podemos obtener submatrices de dimensión $\text{[math]}$ . Así,calculando el determinante de una submatriz de dimensión $\text{[math]}$ tenemos

$\text{[math]}$

Por lo tanto, el rango es $\text{[math]}$

7Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

$\text{[math]}$

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

$\text{[math]}$

Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Además, podemos eliminar las columnas, o filas, nulas o que sean linealmente dependientes a otras. Notemos que la tercer columna es la suma de las primeras dos columnas ( $\text{[math]}$ ). Dicho lo anterior, nos queda la siguiente matriz con la cual haremos el procedimiento.

$\text{[math]}$

- Submatrices dimensión 1. Tenemos que como la matriz no es nula, entonces, existe alguna submatriz de dimensión uno con determinante distinto de 0, por ejemplo:
  
  $\text{[math]}$

- Submatrices dimensión 2. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 2. Así, notemos que
  
  $\text{[math]}$
  
  Por lo tanto, la dimensión es, por lo menos, 2.

Submatrices dimensión 3. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 3. Notemos que

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Como todas las submatrices de dimensión tres tienen determinante nulo, entonces el rango de la matriz es $\text{[math]}$ .

Dado lo anterior, tenemos que $\text{[math]}$ .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Rubí

March 2024

Funcion inversa de
b=f(x)=x-7/3

Dani

February 2024

Hola, en ecuaciones matriciales, en el ejercicio 4, los valores de B y de C están intercambiados en la solución

Antonio Tapia de Superprof

March 2024

Ya lo revise y no veo lo que mencionas. La matriz C solo se usa para la multiplicación con la suma de la inversa de A y B.

José

February 2024

Buenas, parece haber un error en el ejercicio 3 , de AX=B: A=[1 3][1 4] y B=[1 -1][3 1], porque la respuesta que ustedes dan es: X=[1 -5][0 4], y a mi me da: X=[-5 -7][2 2], no se si es error mío o suyo, ya que lo confirmé con calculadora externa y mi respuesta está bien.

Satr

March 2024

𝐴 =
[2 −1
3 1]

Antonio Tapia de Superprof

March 2024

Una disculpa ya se corrigió.

Estrella

May 2023

8(3 * 7) matrix ]-\ (3*(4*-12)\ +16*(2-978

Jessenia

January 2023

Cuales son los pasos para resolver una ecuacion x matrices y escribe sus fórmulas

Zulma

February 2024

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4x+y-z=41
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