Name: Ecuaciones matriciales
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Ecuaciones con Matrices
Resuelve las siguientes ecuaciones, conociendo 3 matrices
Ecuaciones matriciales
Sistemas de ecuaciones con matrices
Calculo de Matriz en sistema de ecuaciones

¡Bienvenidos a la sección de Ejercicios de Ecuaciones Matriciales!

Las ecuaciones matriciales son una herramienta poderosa en álgebra lineal, permitiéndonos expresar y resolver sistemas de ecuaciones de manera eficiente. En esta serie de ejercicios, nos sumergiremos en el mundo de las matrices y exploraremos cómo las ecuaciones matriciales nos ayudan a modelar y resolver problemas en diversas disciplinas.

A lo largo de estos ejercicios, abordaremos la notación matricial, la suma y multiplicación de matrices, y cómo representar sistemas de ecuaciones lineales usando matrices. La capacidad de resolver ecuaciones matriciales es una habilidad esencial con aplicaciones prácticas en diversos campos, desde la ingeniería hasta la física y más allá.

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Ecuaciones con Matrices

1 Dadas las matrices:

$\text{[math]}$

Resolver la ecuación:

$\text{[math]}$

1 Revisamos si matriz $\text{[math]}$ tiene inversa. Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero, por lo que procedemos a calcular el determinante de la matriz $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Esto nos dice que la matriz $\text{[math]}$ es invertible.
2 Calcular la matriz inversa de $\text{[math]}$ .

La formula para calcular la matriz inversa es la siguiente:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

La matriz adjunta en este caso es:

$\text{[math]}$

Mientras que la matriz traspuesta de la adjunta es:

$\text{[math]}$ Por lo que la si hacemos el calculo, la matriz inversa de $\text{[math]}$ es:

$\text{[math]}$

3 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Dado que $\text{[math]}$ tiene inversa, entonces podemos multiplicar por $\text{[math]}$ , a ambos lados de la ecuación por el "lado izquierdo" de la siguiente manera para obtener:

$\text{[math]}$

Donde $\text{[math]}$ representa la matriz identidad (en este caso de $\text{[math]}$ ).

4 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.

$\text{[math]}$

2 Dadas las matrices:

$\text{[math]}$

Resolver la ecuación:

$\text{[math]}$

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación. Primero hay que despejar $\text{[math]}$ en la ecuación, por lo que hacemos: $\text{[math]}$ 2 Calcular la matriz inversa de $\text{[math]}$ .Primero revisaremos que $\text{[math]}$ sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:

$\text{[math]}$

Esto nos dice que la matriz $\text{[math]}$ es invertible.

La matriz inversa de $\text{[math]}$ esta dada por:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:

$\text{[math]}$

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:

Tenemos la ecuación:

$\text{[math]}$

Sustituyendo los valores de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ tenemos:

$\text{[math]}$

3 Dadas las matrices:

$\text{[math]}$

Resolver la ecuación:

$\text{[math]}$

La formula para calcular la matriz inversa es la siguiente:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

La matriz adjunta en este caso es:

$\text{[math]}$

Mientras que la matriz traspuesta de la adjunta es:

$\text{[math]}$ Por lo que la si hacemos el calculo, la matriz inversa de $\text{[math]}$ es:

$\text{[math]}$

3 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Dado que $\text{[math]}$ tiene inversa, entonces podemos multiplicar por $\text{[math]}$ , a ambos lados de la ecuación por el "lado izquierdo" de la siguiente manera para obtener:

$\text{[math]}$

Donde $\text{[math]}$ representa la matriz identidad (en este caso de $\text{[math]}$ ).

4 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.

$\text{[math]}$

4 Dadas las matrices:

$\text{[math]}$

Resolver la ecuación:

$\text{[math]}$

La formula para calcular la matriz inversa es la siguiente:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

La matriz adjunta en este caso es:

$\text{[math]}$

Mientras que la matriz traspuesta de la adjunta es:

$\text{[math]}$ Por lo que la si hacemos el calculo, la matriz inversa de $\text{[math]}$ es:

$\text{[math]}$

3 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Dado que $\text{[math]}$ tiene inversa, entonces podemos multiplicar por $\text{[math]}$ , a ambos lados de la ecuación por el "lado izquierdo" de la siguiente manera para obtener:

$\text{[math]}$

Donde $\text{[math]}$ representa la matriz identidad (en este caso de $\text{[math]}$ ).

4 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.

$\text{[math]}$

5 Dadas las matrices:

$\text{[math]}$

Resolver la ecuación:

$\text{[math]}$

1 Revisamos si matriz $\text{[math]}$ tiene inversa. Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero, por lo que procedemos a calcular el determinante de la matriz $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Esto nos dice que la matriz $\text{[math]}$ no es invertible, por lo que no existe una solución.

Resuelve las siguientes ecuaciones, conociendo 3 matrices

$\text{[math]}$

Calcular el valor de $\text{[math]}$ en las siguientes ecuaciones:

1 $\text{[math]}$

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Primero hay que despejar $\text{[math]}$ de la ecuación, por lo que hacemos:

$\text{[math]}$

Donde $\text{[math]}$ denota la matriz identidad (de $\text{[math]}$ en este caso).

2 Calcular la matriz inversa de $\text{[math]}$ .

Primero revisaremos que $\text{[math]}$ sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:

$\text{[math]}$

Esto nos dice que la matriz $\text{[math]}$ es invertible.

La matriz inversa de $\text{[math]}$ esta dada por:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:

$\text{[math]}$

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:

Tenemos la ecuación:

$\text{[math]}$

Sustituyendo los valores de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ tenemos:

$\text{[math]}$

¿Y si pruebas con nuestras clases particulares de matematicas?

2 $\text{[math]}$

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Primero hay que despejar $\text{[math]}$ de la ecuación, por lo que hacemos:

$\text{[math]}$

2 Calcular la matriz inversa de $\text{[math]}$ .

Del ejercicio $\text{[math]}$ tenemos que la matriz inversa de $\text{[math]}$ es:

$\text{[math]}$

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:

Tenemos la ecuación:

$\text{[math]}$

Sustituyendo los valores de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ tenemos:

$\text{[math]}$

3 $\text{[math]}$

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Primero hay que despejar $\text{[math]}$ de la ecuación, por lo que hacemos:

$\text{[math]}$

2 Calcular la matriz inversa de $\text{[math]}$ .

Del ejercicio $\text{[math]}$ tenemos que la matriz inversa de $\text{[math]}$ es:

$\text{[math]}$

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:

Tenemos la ecuación:

$\text{[math]}$

Sustituyendo los valores de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ tenemos:

$\text{[math]}$

4 $\text{[math]}$

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Primero hay que despejar $\text{[math]}$ de la ecuación, por lo que hacemos:

$\text{[math]}$

2 Calcular la matriz inversa de $\text{[math]}$ .

Primero tenemos que hacer la suma de las matrices $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , la cual es:

$\text{[math]}$

La inversa de una matriz $\text{[math]}$ esta dada por la formula:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

Por lo que si hacemos los cálculos obtenemos que la matriz inversa de $\text{[math]}$ es:

$\text{[math]}$

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:

Tenemos la ecuación:

$\text{[math]}$

Sustituyendo los valores de $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ tenemos:

$\text{[math]}$

5 $\text{[math]}$

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Primero hay que despejar $\text{[math]}$ de la ecuación, por lo que hacemos:

$\text{[math]}$

2 Encontrar la matriz dada por $\text{[math]}$

Si sustituimos el los valores de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ y realizamos las operaciones correspondientes tenemos:

$\text{[math]}$

3 Encontrar la matriz inversa de $\text{[math]}$ .

Antes de encontrar la matriz inversa, tenemos que verificar que sea invertible. Para esto necesitamos calcular su determinate.

$\text{[math]}$

Lo que nos dice que $\text{[math]}$ es invertible. Ahora la inversa de una matriz $\text{[math]}$ esta dada por la formula:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

Por lo que en este caso si hacemos los calculos deberiamos de obtener que:

$\text{[math]}$

4 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:

Tenemos la ecuación:

$\text{[math]}$

Sustituyendo los valores de $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ tenemos:

$\text{[math]}$

Ecuaciones matriciales

Dadas las matrices:

$\text{[math]}$

resolver la ecuación:

1 $\text{[math]}$

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Primero hay que despejar $\text{[math]}$ de la ecuación, por lo que hacemos:

$\text{[math]}$

2 Encontrar la matriz inversa de $\text{[math]}$ .

Primero revisaremos que $\text{[math]}$ sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:

$\text{[math]}$

Esto nos dice que la matriz $\text{[math]}$ es invertible.

La matriz inversa de $\text{[math]}$ esta dada por:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:

$\text{[math]}$

3 Sustituir los valores obtenidos y resolver la ecuación.

Si sustituimos los valores de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ en la ecuación y desarrollamos obtenemos:

$\text{[math]}$

2 $\text{[math]}$

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Primero hay que despejar $\text{[math]}$ de la ecuación, por lo que hacemos:

$\text{[math]}$

2 Sustituir los valores obtenidos y resolver la ecuación.

Si sustituimos los valores de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ en la ecuación y desarrollamos obtenemos:

$\text{[math]}$

3 $\text{[math]}$

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Primero hay que despejar $\text{[math]}$ de la ecuación, por lo que hacemos:

$\text{[math]}$

2 Sustituir los valores obtenidos y resolver la ecuación.

Si sustituimos los valores de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ en la ecuación y desarrollamos obtenemos:

$\text{[math]}$

4 $\text{[math]}$

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Primero hay que despejar $\text{[math]}$ de la ecuación, por lo que hacemos:

$\text{[math]}$

2 Sustituir los valores obtenidos y resolver la ecuación.

Si sustituimos los valores de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ en la ecuación y desarrollamos obtenemos:

$\text{[math]}$

5 $\text{[math]}$

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Primero hay que despejar $\text{[math]}$ de la ecuación, por lo que hacemos:

$\text{[math]}$

2 Recordemos que $\text{[math]}$ . Sustituir los valores obtenidos y resolver la ecuación.

Si sustituimos los valores de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ en la ecuación y desarrollamos obtenemos:

$\text{[math]}$

Sistemas de ecuaciones con matrices

1Resolver; en forma matricial, el sistema:

$\text{[math]}$

1 Reescribir el sistema de ecuaciones en forma matricial.Con los coeficientes de las ecuaciones podemos formar siguiente matriz: $\text{[math]}$ Ahora tomamos las 3 incógnitas $\text{[math]}$ y formamos el vector columna:

$\text{[math]}$

Por ultimo usamos las soluciones de las ecuaciones y las acomodamos en un vector columna de la siguiente manera:

$\text{[math]}$

Por lo que si reescribimos las ecuaciones de forma matricial tenemos:

$\text{[math]}$

2 Encontrar la inversa de $\text{[math]}$ .

Primero revisaremos que $\text{[math]}$ sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:

$\text{[math]}$

Esto nos dice que la matriz $\text{[math]}$ es invertible.

La matriz inversa de $\text{[math]}$ esta dada por:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:

$\text{[math]}$

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.

Tenemos la ecuación:

$\text{[math]}$

Sí sustituimos los valores de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , y desarrollamos la ecuación tenemos:

$\text{[math]}$

Esto implica que:

$\text{[math]}$

2Resolver; en forma matricial, el sistema:

$\text{[math]}$

1 Reescribir el sistema de ecuaciones en forma matricial. Con los coeficientes de las ecuaciones podemos formar siguiente matriz: $\text{[math]}$
2 Encontrar la inversa de $\text{[math]}$ .

Primero revisaremos que $\text{[math]}$ sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:

$\text{[math]}$

Esto nos dice que la matriz $\text{[math]}$ es invertible.

La matriz inversa de $\text{[math]}$ esta dada por:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:

$\text{[math]}$

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.

Tenemos la ecuación:

$\text{[math]}$

Esto implica que:

$\text{[math]}$

3Resolver; en forma matricial, el sistema:

$\text{[math]}$

1 Reescribir el sistema de ecuaciones en forma matricial. Con los coeficientes de las ecuaciones podemos formar siguiente matriz: $\text{[math]}$
2 Encontrar la inversa de $\text{[math]}$ .

Primero revisaremos que $\text{[math]}$ sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:

$\text{[math]}$

Esto nos dice que la matriz $\text{[math]}$ es invertible.

La matriz inversa de $\text{[math]}$ esta dada por:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:

$\text{[math]}$

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.

Tenemos la ecuación:

$\text{[math]}$

Esto implica que:

$\text{[math]}$

4Resolver; en forma matricial, el sistema:

$\text{[math]}$

1 Reescribir el sistema de ecuaciones en forma matricial. Con los coeficientes de las ecuaciones podemos formar siguiente matriz: $\text{[math]}$
2 Encontrar la inversa de $\text{[math]}$ .

Primero revisaremos que $\text{[math]}$ sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:

$\text{[math]}$

Esto nos dice que la matriz $\text{[math]}$ es invertible.

La matriz inversa de $\text{[math]}$ esta dada por:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:

$\text{[math]}$

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.

Tenemos la ecuación:

$\text{[math]}$

Esto implica que:

$\text{[math]}$

5Resolver; en forma matricial, el sistema:

$\text{[math]}$

1 Reescribir el sistema de ecuaciones en forma matricial. Con los coeficientes de las ecuaciones podemos formar siguiente matriz: $\text{[math]}$
2 Encontrar la inversa de $\text{[math]}$ .

Primero revisaremos que $\text{[math]}$ sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:

$\text{[math]}$

Esto nos dice que la matriz $\text{[math]}$ es invertible.

La matriz inversa de $\text{[math]}$ esta dada por:

$\text{[math]}$ donde

$\text{[math]}$

Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:

$\text{[math]}$

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.

Tenemos la ecuación:

$\text{[math]}$

Esto implica que:

$\text{[math]}$

Calculo de Matriz en sistema de ecuaciones

1Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

$\text{[math]}$

Multiplicamos la segunda ecuación por $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Sumamos le sumamos la segunda ecuación a la primera, por lo que tenemos: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Ahora tomamos la primera ecuación y despejamos para $\text{[math]}$ , sustituyendo el valor encontrado de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2Resolver la ecuación:

$\text{[math]}$

Sin desarrollar los determinantes.

Para resolver está ecuación sin hacer el calculo de los determinantes recordemos que el determinante es 0 cuando la matriz no tiene rango completo. Esto es equivalente a que alguna de las filas sea combinación lineal de las otras dos.Denotemos como $\text{[math]}$ a la primera fila, $\text{[math]}$ a la segunda fila y $\text{[math]}$ a la tercera fila. Entonces, el determinante será 0 si se cumple: $\text{[math]}$ Por lo tanto, con esto podemos formar el siguiente sistema de ecuaciones: $\text{[math]}$

Notemos que, aunque es un sistema no lineal, se tienen 3 variables y tres ecuaciones. Entonces es posible que la podamos resolver. Empezamos igualando las primeras dos ecuaciones:

$\text{[math]}$

Aquí hay dos casos, que $\text{[math]}$ o que $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , entonces podemos dividir la ecuación por $\text{[math]}$ para tener que $\text{[math]}$ .

Supongamos ahora que $\text{[math]}$ , de la primera ecuación se sigue que:

$\text{[math]}$

por lo tanto, $\text{[math]}$ . Luego, en la tercera ecuación tenemos:

$\text{[math]}$

de donde se sigue que $\text{[math]}$ .

Por lo tanto, las soluciones son $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ .

3Resolver la ecuación:

$\text{[math]}$

Sin desarrollar los determinantes.

El determinante de este ejercicio es más complicado que el del ejercicio anterior debido a que tenemos entradas arbitrarias $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ .
Sin embargo, si deseamos encontrar todas las soluciones, debemos proceder como en el ejercicio anterior. Primero, denotamos las filas como $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ . Así, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: $\text{[math]}$ Observemos que las variables de este sistema de ecuaciones son $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ . Las letras $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ no son variables, por lo que las soluciones deben estar en términos de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ .De nuevo tenemos un sistema no lineal. Aquí empezamos despejando $\text{[math]}$ de la primera ecuación, lo que nos da: $\text{[math]}$

en este caso asumimos que $\text{[math]}$ (en el caso de $\text{[math]}$ , cualquier valor de $\text{[math]}$ resuelve la ecuación).

Si sustituimos el valor de $\text{[math]}$ en la segunda ecuación y despejamos $\text{[math]}$ , obtenemos:

$\text{[math]}$

Con esto ultimo ya resolvemos que una solución es $\text{[math]}$ .

Ahora, si en lugar de sustituir el valor de $\text{[math]}$ en la segunda ecuación, lo hacemos en la tercera tenemos que:

$\text{[math]}$

Por lo que tenemos que las soluciones de son: $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ .

4Resolver la ecuación:

$\text{[math]}$

Sin desarrollar los determinantes.

Como ya ha sido mencionado en los ejercicio anteriores, la determinante es cero si una fila o columna es una combinación lineal de las otras filas o columnas, respectivamente. Entonces, tenemos que para algunas constantes $\text{[math]}$ se cumple

\begin{bmatrix} 2\\ 2\\ 2 \end{bmatrix} = \alpha\begin{bmatrix} 1\\ x\\ 1 \end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ x^2 \end{bmatrix}.

Que es equivalente al sistema de ecuaciones

$\text{[math]}$

Entonces, de la primer ecuación tenemos que $\text{[math]}$ , por lo que obtenemos

$\text{[math]}$

por lo que $\text{[math]}$ . Si usamos $\text{[math]}$ , obtenemos

$\text{[math]}$

que nos dice que $\text{[math]}$ .

5Resolver la ecuación:

$\text{[math]}$

Sin desarrollar los determinantes.

\begin{bmatrix} 2\\ 2\\ 2 \end{bmatrix} = \alpha\begin{bmatrix} 0\\ x\\ 2 \end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix} 2\\ 2\\ x^2 \end{bmatrix}.

Que es equivalente al sistema de ecuaciones

$\text{[math]}$

Entonces, de la primer ecuación tenemos que $\text{[math]}$ , por lo que obtenemos

$\text{[math]}$

por lo que $\text{[math]}$ cuando $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , obtenemos $\text{[math]}$ .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Rubí

Marzo 2024

Funcion inversa de
b=f(x)=x-7/3

Dani

Febrero 2024

Hola, en ecuaciones matriciales, en el ejercicio 4, los valores de B y de C están intercambiados en la solución

Antonio Tapia de Superprof

Marzo 2024

Ya lo revise y no veo lo que mencionas. La matriz C solo se usa para la multiplicación con la suma de la inversa de A y B.

José

Febrero 2024

Buenas, parece haber un error en el ejercicio 3 , de AX=B: A=[1 3][1 4] y B=[1 -1][3 1], porque la respuesta que ustedes dan es: X=[1 -5][0 4], y a mi me da: X=[-5 -7][2 2], no se si es error mío o suyo, ya que lo confirmé con calculadora externa y mi respuesta está bien.

Satr

Marzo 2024

𝐴 =
[2 −1
3 1]

Antonio Tapia de Superprof

Marzo 2024

Una disculpa ya se corrigió.

Estrella

Mayo 2023

8(3 * 7) matrix ]-\ (3*(4*-12)\ +16*(2-978

Jessenia

Enero 2023

Cuales son los pasos para resolver una ecuacion x matrices y escribe sus fórmulas

Zulma

Febrero 2024

2x-z=14
4x+y-z=41
3x-y+5x=53

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