¡Bienvenido a los desafiantes ejercicios de determinantes! En esta serie de prácticas, nos sumergiremos en el emocionante mundo de las matrices y los determinantes, una poderosa herramienta matemática con aplicaciones en diversas áreas, como la física, la ingeniería, la economía y más.

Los determinantes son valores numéricos que se calculan a partir de una matriz y nos proporcionan información crucial sobre sus propiedades lineales y su comportamiento en sistemas de ecuaciones lineales. A lo largo de estos ejercicios, aprenderemos a calcular determinantes para matrices de diferentes tamaños y a interpretar sus resultados. ¡Comencemos a descubrir los secretos de los determinantes juntos!

 

1Si el valor del determinante

Calcular el valor de:

Cada una de las filas de esta multiplicada por entonces por propiedades de determinantes tenemos que

 

Ahora aplicaremos las siguiente operaciones columna y fila a la matriz

 

Primero cambiamos las columnas y y luego cambiamos las filas y , esto es,

 

 

Recordemos que mover filas o columnas de la matriz solo altera el valor del determinante en el signo. Como hicimos dos movimientos entonces seria menos por menos lo que nos da mas, entonces

 

 

 

2Demostrar que el siguiente determinante es divisible por :
 

Para demostrar lo pedido, lo que haremos será sumar a la columna cada una de las otras columnas, es decir, empezamos sumando la columna y la columna , luego este resultado le sumamos la columna y asi sucesivamente hasta llegar a la columna . Recordemos que hacer este tipo de operaciones elementales no afecta el valor del determinante.

 

 

Ahora podemos sacar el factor de la columna . Lo que nos da

 

 

De esta forma tenemos que el determinante inicial es divisible por .

 

 

3Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:
 

Primero recordemos que restar o sumar filas o columnas no afecta el resultado del determinante. Ahora haremos los cálculos de manera estructura indicando con los siguiente símbolos las operaciones que vayamos realizando. significa que a la fila le sumamos o le restamos la fila , similarmente significa que a columna le sumamos o le restamos la columna . Empezamos con la matrix ,

 

 

El determinante es cero porque al final obtenemos dos columnas linealmente dependientes.

 

Continuamos con la matriz ,

 

 

Finalmente para tenemos que

 

 

 

4Calcular el valor de los siguientes determinantes:
 

Primero recordemos que restar o sumar filas o columnas no afecta el resultado del determinante. Ahora haremos los cálculos de manera estructura indicando con los siguiente símbolos las operaciones que vayamos realizando. significa que a la fila le sumamos o le restamos la fila , similarmente significa que a columna le sumamos o le restamos la columna . Empezamos con la matrix ,

 

 

Continuamos con la matriz ,

 

 

 

5¿Para qué valores de la matriz

no admite matriz inversa?

Primero calculemos el determinante de la matriz,

 

 

Para que la matriz no admita una inversa se debe cumplir que

 

 

Dado que no pertenece a los números reales podemos concluir que la matriz siempre admite una inversa.

 

 

6¿Para qué valores de la matriz

no admite matriz inversa?

Primero calculemos una matriz equivalente de ,

 

 

Ahora calculamos el determinante de la matriz equivalente,

 

 

Para que la matriz no admita una inversa se debe cumplir que

 

 

Podemos concluir que la matriz no admite inversa para .

 

 

7Encuentra el valor de para la ecuación

Primero calculemos una matriz equivalente,

 

 

Ahora calculamos el determinante de la matriz equivalente e igualamos a cero,

 

 

Resolviendo la última igualdad, se tiene que

 

 

 

8Si

Encuentra el valor de

Primero observamos que la primera columna tiene como factor común , entonces

 

 

Observamos que la segunda columna tiene como factor común , entonces

 

 

Encontramos una matriz equivalente

 

 

conocemos el valor del último determinante, por lo que sustituimos y obtenemos

 

 

 

9Resolver la ecuación matricial:

donde .

Dado que , podemos decir que existe . Al multiplicar a la derecha en ambos lados de la igualdad tenemos que

 

 

 

10Resolver las ecuación matricial:

donde .

Dado que , podemos decir que existe . Al multiplicar en ambos lados de la igualdad tenemos que

 

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗