2Si , calcula los determinantes y  

 

1 Determinante de B

2 Determinante de C

 

 

3Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos

 

1 Determinante de A

 

No nos interesa saber el valor exacto de la última matriz, pues sabemos que debe ser un número entero y que al multiplicarse por el 5 de la izquierda, el determinante de resultará un múltiplo de 5.

 

2 Determinante de B

 

De manera análoga, ignoramos el valor exacto de la última matriz, ya que al ser un número entero y al multiplicarse por el 4 de la izquierda, el determinante de resultará un múltiplo de 4

 

4 Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

 

No nos interesa saber el valor exacto de la última matriz, pues sabemos que debe ser un número entero y que al multiplicarse por el 15 de la izquierda, el determinante de  resultará un múltiplo de 15

 

 

5Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

 

 

1

 

Expresamos la matriz como suma de dos matrices

Cada uno de estos sumandos es a su vez la suma de otras dos matrices

Pero la segunda y tercera matriz tiene dos columnas iguales, por lo que su determinante será cero. Así que

Separamos como sumas nuevamente estas dos matrices y nos queda

Nuevamente la segunda y tercera matriz tiene dos columnas iguales, por lo que su determinante será cero.

Cada factor sale de haber intercambiado la posición de un par de columnas

 

2

 

Multiplicamos la 1ª fila por la , la 2ª por y la tercera por , por tanto tenemos que dividir por abc para que el resultado no varíe.


 

6Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

 

1 Determinante A

 

 

2 Determinante B

 

 

3 Determinante C

 

 

Ecuaciones y determinantes

7Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

 

1

 

Calculamos el determinante y resulta la ecuación

Las soluciones son entonces

 

2

 

De calcular el determinante resulta

Las soluciones son

 

8Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

    • , donde

    • donde

 

1

 

, existe la matriz inversa

 

 

 

 2 

 

, existe la matriz inversa

 

 

 

Determinantes triangulares

9Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

     

 

1 Determinante A

 

 

2 Determinante B

 

 

Determinantes de Vandermonde

10Calcular los determinantes de Vandermonde:

      

 

1 Determinante A

 

 

 

 

2 Determinante B

 

 

 

 

 

 

 

Matriz inversa

11Hallar la matriz inversa de:

 

Hallar la matriz inversa de:
El determinante es

La matriz adjunta y la matriz adjunta transpuesta están dadas por

Finalmente la inversa es

 

12Para qué valores de la matriz  no admite matriz inversa?

 

Calculamos el determinante

Para la matriz no tiene inversa.

 

Rango de matrices

13Calcular el rango de las siguientes matrices:

 

 

 

1 Rango de A

 

 

 

 

 

Por lo tanto el rango es

 

2 Rango de B

 

 

 

 

 

Entonces el rango de está dado por

 

3 Rango de C

 

 

Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinación lineal de la primera y segunda:

 

El rango de es equivalente al rango de la siguiente matriz

 

El rango de es

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗