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Vamos

Recursos clave para resolver los ejercicios propuestos

Para poder resolver los ejercicios siguientes es necesario tener a la mano las siguiente herramientas:

 

  1. Círculo unitario
  2. Identidades trigonométricas básicas
  3. Identidades trigonométricas pitagóricas
  4. Identidades trigonométricas pares e impares
  5. Identidades trigonométricas para ángulos dobles
  6. Identidades trigonométricas para ángulos medios
  7. Suma y resta de ángulos y relaciones producto-suma

 
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Círculo unitario

 

La tabla conocida como círculo unitario, la cual contiene los valores de los radios mas representativos usados en la trigonométrica, ademas, el nombre de este círculo se debe a que es un círculo con radio 1.

 

representación gráfica circulo unitario

 

Con esta herramienta sera muy sencillo localizar el valor de los ángulos, por ejemplo, si quisiéramos conocer el valor de , simplemente debemos ubicarnos en el eje del seno, es decir, el eje y, y luego ubicarnos en el valor .

Notaremos que la tabla indica que el angulo es lo cual es el valor en grados, pero también existe el valor en radianes, el cual es

Cuando necesitamos localizar los valores para la tangente, recordemos que la tangente es una linea recta que toca a la circunferencia en un único punto, en el caso de esta circunferencia, la tangente que se utiliza es aquella que toca el unto de los   y la altura de la tangente dependerá del valor en la ecuación, por ejemplo, en la ecuación  despejamos la variable y obtenemos , entonces buscamos la tangente de altura y trazamos la linea hasta el origen, observaremos el punto donde se intersecta con la circunferencia, y buscaremos el valor en la tabla

representacion grafica circulo unitario tangente

 

Corresponde a

También podría decirse que corresponde a o

 
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Identidades trigonométricas básicas

 

Las identidades trigonométricas son igualdades definidas que nos ayudan a realizar el trabajo algebraico sin rompernos la cabeza

 

tabla de identidades trigonometricas basicas

 

Identidades trigonométricas pitagóricas

 

tabla de identidades trigonometricas pitagoricas

Identidades trigonométricas pares e impares

 

 

 

Ángulos dobles y ángulos medios

 

 

formulas angulos dobles

 

 
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Suma y resta de ángulos y relaciones producto-suma

identidades trigonometricas

 

Ejercicios de ecuaciones trigonométricas básicas

 

Resuelve despejando la variable y localizando los valores en el círculo unitario

 

1  

 

2  

 

3  

 

4  

 

5

 

6  

 

7  

 

8

 

9

 

10

 

11

 

12

 

13

 

 

Para resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas es necesario recordar la propiedad de la función inversa:

=x

 

1  

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

Localizamos en la tabla el valor para 

Nos ubicamos en el del seno, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

 

 

2

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

Localizamos en la tabla el valor para 

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

 

 

3  

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

 

En nuestra tabla, visualicemos una tangente de altura cero, obviamente al buscar el valor en el círculo unitario encontraremos que corresponde a cero grados, entonces:

 

 

 

4

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

 

Localizamos en la tabla el valor para 

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

 

5

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

 

Localizamos en la tabla el valor para 

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

 

 

6  

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

 

Este ejercicio se mostró en el ejemplo a principio de la lección donde podrás observar la representación gráfica.

Visualizamos una recta tangente de altura , trazamos una linea desde esa altura hasta el origen y observamos el punto de intersección con la circunferencia, buscamos el valor de ese punto en nuestro círculo unitario y obtenemos el valor de la ecuación:

 

tangente circulo unitario

 

 

 

 

7

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

 

Localizamos en la tabla el valor para 

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

 

8  

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

 

Localizamos en la tabla el valor para 

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

 

9

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

 

Ubicándonos en la coordenada   visualizamos una recta tangente de altura , trazamos una linea desde esa altura hasta el origen y observamos el punto de intersección con la circunferencia, buscamos el valor de ese punto en nuestro círculo unitario y obtenemos el valor de la ecuación:

 

tangente x 1

 

 

 

10  

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

Localizamos en la tabla el valor para 

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

 

 

11  

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

Localizamos en la tabla el valor para 

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

 

12  

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

Localizamos en la tabla el valor para 

Nos ubicamos en el del cos, es decir, el eje x, ahora localizamos el valor en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

 

13  

 

Despejamos la variable x, haciendo uso de la propiedad del inverso:

 

 

Localizamos en la tabla el valor para 

Nos ubicamos en el del sen, es decir, el eje y, ahora localizamos el valor en el eje, por ultimo nos desplazamos a los puntos que atraviesan la circunferencia y que pasan por . Estos valores serán el resultado de la ecuación

 

 

 

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Resuelve utilizando las identidades trigonométricas

 

1  

 

 

1  

 

Para resolver la ecuacion, buscaremos en la tabla los valores de

 

Esto nos da 2 casos posibles, sustituimos para el primer caso

 

 

Despejamos la variable

 

 

 

Sstituimos para el segundo  caso

 

 

Despejamos la variable

 

 

 

 

 

2 

 

 

2

 

Usando las identidades trigonométricas, trataremos de simplificar esta ecuación en funciones mas simples como seno, coseno o tangente

 

Usemos la identidad trigonométrica 

 

 

Ahora utilizaremos la identidad trigonométrica 

 

 

Simplificamos:

 

 

Realizaremos la resta de fracciones utilizando el producto cruzado para obtener:

 

 

Simplificamos:

 

 

Convertimos la unidad en una fracción equivalente con el mismo denominador:

 

 

Sustituimos y simplificamos

 

 

 

Ahora multiplicamos ambos miembros de la ecuación por

 

Por el lado izquierdo tenemos :

 

 

Al simplificar obtenemos:

 

 

Por el lado derecho tenemos lo cual claramente es igual a cero

 

Entonces:

 

 

Factorizamos:

 

 

Ahora existen 2 casos:

 

Primer caso: despejando el primer termino

 

 

 

Para este caso, dividiremos ambos miembros por

 

 

 

 

Utilizaremos la identidad

 

 

Despejamos la variable

 

 

 

 

 

Segundo  caso: despejando el segundo termino

 

 

 

Para este caso, dividiremos ambos miembros por

 

 

 

 

Utilizaremos la identidad

 

 

Despejamos la variable

 

 

Ahora buscamos el valor en nuestro círculo unitario como hemos hecho anteriormente

 

 

 

3  

 

 

3

 

Podemos observar claramente que la ecuación es de la forma :

 

 

Es decir, una ecuación de segundo grado que se puede resolver mediante la formula general:

 

 

Sustituimos:

 

 

 

Caso 1:

 

 

 

Despejamos la variable:

 

 

Localizamos el valor en el círculo unitario

 

 

Caso 2: 

 

 

 

 

Despejamos la variable :

 

 

Localizamos el valor en el círculo unitario

 

4  

 

 

4

 

Utilizaremos la identidad pitagórica siguiente:

 

 

Sustituimos en nuestra ecuación:

 

 

 

Sumamos términos semejantes:

 

 

Despejamos la variable:

 

 

 

 

 

 

5  

 

 

5  

 

Usaremos la identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

 

De las 3 opciones que tenemos, utilizaremos la primera  

 

Sustituimos en nuestra ecuación:

 

 

 

Ahora utilizaremos la identidad pitagórica siguiente:

 

 

Sustituimos en nuestra ecuación:

 

 

 

Igualamos la ecuación a cero y simplificamos los términos semejantes

 

 

 

Ahora vamos a factorizar :

 

 

Observamos que se generan 2 casos.

 

Caso 1:

 

 

 

Caso 2:

 

Como podemos observar en el circulo unitario, los valores de las funciones seno y coseno están en el intervalo [-1,1], así que el  no existe, por lo tanto este caso, no tiene solución.

 

Sin solución

 

6  

 

 

6

 

En este caso usaremos la identidad trigonométrica de suma de ángulos :

 

 

Sustituimos los valores de nuestro ejercicio en la identidad trigonométrica:

 

 

 

Simplificamos términos semejantes:

 

 

 

 

Para que la ecuación sea igual a cero, es claro que uno de los 2 términos debe ser igual a cero :

 

Caso 1:

 

Caso 2:

 

Resolviendo caso 1:

 

 

Despejamos la variable aplicando la propiedad de la función inversa :

 

 

Observando el circulo unitario sabemos que:

 

 

Resolvamos la ecuación para 

 

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 

 

 

 

 

 

Resolvamos la ecuación para 

 

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 

 

 

 

 

 

Esto quiere decir, que si la variable x toma cualquiera de esos 2 valores, entonces la ecuación   sera igual a 0 y entonces la ecuación se satisface.

 

Resolviendo caso 2:

 

 

Despejamos la variable aplicando la propiedad de la función inversa :

 

 

Observando el circulo unitario sabemos que:

 

 

Resolvamos la ecuación para 

 

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 

 

 

 

Resolvamos la ecuación para 

 

 

Despejamos la variable y resolvemos:

 

 

 

 

 

Esto quiere decir, que si la variable x toma cualquiera de esos 2 valores, entonces la ecuación   sera igual a 0 y entonces la ecuación se satisface.

 

En conclusión, los valores que puede tomar la variable x y que son solución a la ecuación son:

 

 

 

 

 

7  

 

 

7

 

Para este caso usaremos una identidad trigonométrica de los ángulos dobles:

 

 

 

Lo primero sera multiplicar toda nuestra ecuación por -1 :

 

 

 

Ahora ordenamos de forma que se parezca mas a nuestra identidad trigonométrica

 

 

Usamos la identidad  sustituyendo los valores de nuestra ecuación :

 

 

Para despejar la variable, es necesario usar la propiedad de función inversa

 

 

 

Buscando en el circulo unitario, encontraremos que :

 

 

Resolviendo para :

 

 

Despejamos la variable:

 

 

Resolviendo para :

 

 

Despejamos la variable:

 

 

Los valores que puede tomar la variable x y que son solución a la ecuación son:

 

 

 

 

8

 

 

8

 

Usaremos la identidad trigonométrica de la suma de cosenos:

 

 

Sustituimos:

 

 

 

Nuestra ecuación queda de la siguiente manera:

 

 

Dividimos ambos lados de la ecuación por 2:

 

 

Dividimos ambos lados de la ecuación por cos(x):

 

 

Aplicamos la propiedad de la función inversa:

 

 

 

Despejamos la variable:

 

 

 

La ecuación se satisface cuando

 

9

 

 

9

 

Para este caso utilizaremos la identidad trigonométrica ubicada en la sección de "Identidades trigonométricas para ángulos dobles" :

 

 

Vamos a sustituir con los valores de nuestra ecuación para obtener:

 

 

Entonces, nuestra ecuación quedara de la forma siguiente:

 

 

Igualaremos la ecuación a cero:

 

 

Realizamos la suma de fracciones usando el producto cruzado :

 

 

Eliminaremos el denominador multiplicando ambos lados de la ecuación por :

 

 

Realizamos el producto indicado:

 

 

Agrupamos términos semejantes y los sumamos:

 

 

Factorizamos usando   como factor común :

 

 

Ahora dividimos ambos lados de la ecuación por y obtenemos:

 

 

Multiplicamos por -1 ambos lados de la ecuación y ordenamos para resolver como ecuación de segundo grado :

 

 

 

 

Aplicamos la propiedad de función inversa:

 

 

 

 

10  

 

 

10

 

Primero, restaremos en ambos lados:

 

 

 

Ahora elevamos al cuadrado ambos lados:

 

 

Igualamos la ecuación a cero:

 

 

Resolvemos los cuadrados, para lo cual usamos la formula del binomio al cuadrado:

 

 

 

Utilizamos la identidad trigonométrica pitagórica :

 

 

Sustituimos

 

 

Simplificamos:

 

 

 

Simplificamos términos semejantes :

 

 

Realizaremos un cambio de variable:

 

Sea

 

Sustituimos:

 

 

Observemos que se trata de una ecuación de segundo grado que podemos resolver mediante la formula general:

 

 

Sustituimos:

 

 

Resolvemos:

 

 

 

 

 

 

 

Deshacemos el cambio de variable :

 

 

Aplicamos la propiedad de función inversa:

 

 

 

Ahora solo debemos localizar el valor en nuestra tabla del circulo unitario:

 

 

La ecuación se satisface cuando x toma cualquiera de esos 2 valores.

 

 

 

 

 

11  

 

 

11

 

Para este caso utilizaremos la identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

Buscamos en nuestro circulo unitario el valor correspondiente a :

 

 

Sustituimos:

 

 

Aplicamos la propiedad de la función inversa:

 

 

 

Localizamos los valores correspondientes en nuestro círculo unitario

 

 

 

Entonces:

 

 

Despejamos la variable dividiendo por 2:

 

 

La ecuación se satisface cuando x toma cualquiera de esos 2 valores.

 

 

12  

 

 

12

 

Usaremos la siguiente identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

 

Pero antes de sustituir,  obtendremos una variante dividiendo por 2 cada lado de la identidad:

 

 

Sustituimos:

 

 

Simplificamos realizando la division indicada:

 

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

 

Aplicamos la propiedad de función inversa:

 

 

 

Localizamos el valor para en nuestro circulo unitario:

 

 

Sustituimos para ambos casos:

 

Caso 1:

 

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

 

Despejamos la variable sumando 30° a ambos lados de la ecuación:

 

 

Caso 2:

 

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

 

Despejamos la variable sumando 30° a ambos lados de la ecuación:

 

 

La ecuación se satisface cuando :

 

 

 

13  

 

 

13

 

Utilizaremos la identidad trigonométrica básica :

 

 

Sustituimos:

 

 

 

Eliminamos el denominador multiplicando ambos lados de la ecuación por 

 

 

Ahora utilizaremos la identidad trigonométrica pitagórica:

 

 

Sustituimos:

 

 

Aplicamos propiedad distributiva:

 

 

Igualamos a cero y ordenamos:

 

 

Multiplicamos toda la expresión por

 

 

Realizamos un cambio de variable, donde:

 

 

Sustituimos:

 

 

Resolvemos mediante la formula eneal para ecuaciones de segundo grado:

 

 

 

 

 

Deshacemos el cambio de variable:

 

 

Caso 1:

 

 

 

 

Aplicamos propiedad de función inversa:

 

 

 

Localizamos el valor correspondiente en nuestro circulo unitario :

 

 

 

Caso 2:

 

 

 

 

Aplicamos propiedad de función inversa:

 

 

 

Como sabemos y podemos observar en nuestro circulo unitario, la función seno no esta definida para valores mayores a 1, ni menores a -1 por lo tanto este caso no tiene solución.

 

La función se satisface cuando:

 

 

 

14  

 

 

14

 

Usaremos la siguiente identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

 

Sustituimos:

 

 

Entonces:

 

 

Simplificamos:

 

 

Igualamos a cero la ecuación:

 

 

Factorizamos:

 

 

 

 

Extraemos el termino común  :

 

 

Ahora vamos a factorizar la parte dentro del  corchete :

 

 

Reescribiremos el 3 como 

 

 

Ordenamos para poder aplicar la diferencia de cuadrados :

 

 

 

Aplicamos la ley de signos :

 

 

Ahora podemos aplicar la diferencia de cuadrados:

 

 

Recordemos que este es el resultado de la parte del corchete que teníamos arriba, vamos a sustituirla en nuestra ecuación ahora que ya esta factorizado :

 

 

Es claro que para la ecuacion se satisfaga, basta con que uno solo de los corchetes, de como resultado cero, entonces tenemos 3 casos:

 

Caso 1, cuando

 

Dividimos por 2 ambos miembros de la ecuación:

 

 

 

Localizamos en el circulo unitario:

 

 

Caso 2, cuando

 

Dividimos ambos miembros por cos x y usamos la identidad trigonométrica básica de la tangente:

 

 

 

 

Despejamos la variable :

 

 

 

 

 

Caso 3, cuando

 

Este caso es bastante similar al caso 2:

 

 

 

 

 

 

La ecuacion se satisface cuando x adquiere alguno de los siguientes valores :

 

 

 

15

 

 

15

 

Igualamos la ecuación a cero:

 

 

Aplicamos un cambio de variable, donde

 

Sustituimos:

 

 

Usamos la siguiente  identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

 

Sustituimos nuestra variable en la identidad:

 

 

Sustituimos lo obtenido en nuestra ecuación :

 

 

Desarrollamos:

 

 

Sumamos términos semejantes y ordenamos:

 

 

 

Realizamos otro cambio de variable, sea 

 

 

Resolvemos mediante la formula general para ecuaciones de segundo grado :

 

 

 

 

 

 

Deshacemos el ultimo cambio de variable:

 

 

 

Localizamos los valores en nuestro circulo unitario y tenemos que:

 

 

Ahora deshacemos el primer cambio de variable:

 

 

Despejamos la variable, multiplicando por 2:

 

 

La ecuación se satisface cuando x adquiere cualquiera de esos 2 valores.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗