El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.
Veamos algunos ejemplos,
Ejemplos:
1 Consideremos los siguientes términos de una sucesión
La sucesión es divergente y su límite es 
2 Consideremos los siguientes términos de una sucesión
La sucesión se aproxima cada vez más a cero, podemos concluir que su límite es cero.
3 Veamos los siguientes términos de una sucesión de número positivos,
Estos términos nos indican que la sucesión esta tendiendo a 
. De hecho si continuamos viendo sus valores tendremos que su límite es realmente 
Una sucesión 
tiene por límite 
si y sólo si para cualquiera número positivo
que tomemos, existe un término 
, a partir del cual todos los términos de
siguientes a 
cumplen que
También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:
Una sucesión tiene por límite si y sólo si para cualquier entorno de
que tomemos, por pequeño que sea su radio , existe un término de la sucesión, a
partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.
Ejemplos:
1 Notemos que la sucesión 
tiene como límite cero.
Para esto tomemos un número muy cercano a cero, sea 
un número natural tal que
tenemos que
Lo cual nos indica que el límite es cero.
es menor que 
?Consideremos algunos múltiplos de 
y calculemos la sucesión para 
Para 
tenemos que 
lo cual implica que para número mayores a 
la sucesión es menor que . De hecho podemos ir notando que la sucesión es decreciente y que su límite es igual a cero.
3 ¿A partir de que número la sucesión
es menor que 
?
Calculemos el valor de la sucesión para ciertos valores, digamos 
De esta forma podemos garantizar que a partir de 
se satisface la condición pedida. Más aún notemos que para 
la sucesión sigue disminuyendo,
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Límite infinito de una sucesión
Una sucesión tiene por límite 
cuando para toda 
existe un término , a partir del cual todos los términos de , siguientes a
cumplen que 
Una fórmula matemática que describe esto, es la siguiente
1 El límite de la sucesión 
es 
Calculemos algunos valores de la sucesión.
Para 
Para cualquier número natural 
podemos tomar 
así concluimos quepara cualquier se tiene que 
Lo cual nos dice que el límite es infinito.
Finalmente, una sucesión tiene por límite 
cuando para toda 
existe un término , a partir del cual todos los términos de , siguientes a cumplen que 
.
2 El límite de la sucesión 
es .
Calculemos algunos valores de la sucesión. Para
Para cualquier número natural 
podemos tomar 
, así concluimos que para cualquier se tiene que 
Lo cual nos dice que el límite es menos infinito.
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