Ecuaciones logarítmicas II

Ejercicio 4º resuelto

Resolver las ecuaciones logarítmicas:

1 ecuación

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia en los dos miembros

Realizamos la propiedad del logaritmo de un producto

ecuación

Operamos en el primer miembro

Aplicamos la inyectividad de los logaritmos para quitar logaritmos

ecuación

Resolvemos la ecuación

x² (x² – 4) = 0        x² (x + 2) (x – 2) = 0

ecuación

Ni x = 0 ni x = –2 son soluciones porque si los sustituimos en la ecuación nos encontramos con logaritmo 0 y logaritmo de un número negativo y tales logaritmos no existen

2  ecuación

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

log 1 = 0

 ecuación

Aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente

Aplicamos la inyectividad de los logaritmos

 ecuación

Quitamos denomindores y resolvemos la ecuación

 ecuación

x = –½ no es solución, si sustitimos en la ecuación obtendríamos el logaritmo de un número negativo

3ecuación

Quitamos denominadores y realizamos un cambio de variable

 ecuación

Resolvemos la ecuación

ecuación

Deshacemos el cambio de variable aplicando la definición de logaritmo

ecuación

ecuación

4 ecuación

Pasamos el segundo sumando al 2º miembro y aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

Aplicamos la inyectividad de los logaritmos

 ecuación

Realizamos las operaciones

 ecuación

Resolvemos la ecuación

 ecuación

5 ecuación

Quitamos denominadores

ecuación

En 2º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

Aplicamos la inyectividad de los logaritmos

ecuación

Se realizan las operaciones y se resuelve la ecuación de 2º grado

ecuación

6 ecuación

Multiplicamos en los dos miembros por log5 x y lo pasamos todo al primer miembro

 ecuación

log5 125 = log5 5³ = 3

Quitamos denominadores y realizamos un cambio de variable

 ecuación

Resolvemos la ecuación

 ecuación

 ecuación

 ecuación