Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

1a > 0          a ≠ 1

2inyectiva

3Las propiedades de las potencias.

a0 = 1

a1 = a

a–n = 1
an  

potencias

am · a n = am + n

am : a n = am – n

(am)n = am · n

an · b n = (a · b) n

an : b n = (a : b) n

Resolución de ecuaciones exponenciales


Caso 1

Realizar las operaciones necesaria para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que podemos igualar los exponentes.

inyectiva


Ejemplos

1. ecuación

Aplicamos la propiedad de la potencia del cociente, para quitar la resta del exponente

Descomponemos 4 en factores (2²) y como tenemos la misma base igualamos los exponentes

ecuación

2. ecuación

Trasformamos las raíces en potencias de exponente fraccionario e igualamos los exponentes

ecuación

3. ecuación

Aplicamos la propiedad de la potencia del producto y del cociente, para quitar la suma o la resta de los exponentes

ecuación

Extraemos factor común 2x

ecuación

Despejamos 2x e igualamos los exponentes

ecuación

Caso 2

Si tenemos la suma de los n términos de una progresión geométrica, aplicamos la fórmula:

ecuación

Ejemplo

ecuación

Aplicamos la fórmula de la suma de n términos de una progresión geométrica

ecuación

Pasamos el –1 sumando al otro miembro y después pasamos el 2 dividiendo, quedando 512 = 29

ecuación

Caso 3

Cuando tenemos una ecuación más compleja podemos recurrir a un cambio de variable.

Ejemplos

1. ecuación

En primer lugar aplicamos las propiedad del producto de potencias para quitar la suma del exponente.

ecuación

Posteriormente realizamos el cambio de variable:

ecuación

Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable.

ecuación

2. ecuación

Aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes

ecuación

Realizamos el cambio de variable

ecuación

ecuación

Quitamos denominadores

ecuación

Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable

ecuación

No tiene solución porque una potencia con base positiva no puede dar un número negativo

ecuación

3. ecuación

Descomponemos en factores 4 (2²) y 8 (2³)

ecuación

Realizamos el cambio de variable

ecuación

ecuación

Deshacemos el cambio de variable solo con la solución positiva.

ecuación

Como no podemos igualar exponentes tomamos logaritmos en los dos miembros y en el primer miembro aplicamos la propiedad:

potencia

ecuación

ecuación

Despejamos la x

ecuación

Para la otra solución de signo negativo no tendríamos solución porque al aplicar logaritmos en el segundo miembro nos encontraríamos con el logaritmo de un número negativo, que no existe.

ecuación

Caso 4

Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia.

Despejar

Ejemplo

ecuación

Tomamos logaritmos en los dos miembros

ecuación

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

ecuación

El logartmo de 10 es igual a 1

ecuación

Despejamos x

ecuación