Ecuación logarítmica

En las ecuaciones logarítmicas la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

1Las propiedades de los logaritmos.

1uno

2base a de a

3potencia

4producto

5cociente

6potencia

7raíz

2Inyectividad del logaritmo:

Inyectividad

3Definición de logaritmo:

relación

4Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos el logaritmo de un número negativo o de cero.

Ejemplos

1. ecuación

En el primer miembro aplicamos el logaritmo de un producto y en segundo la propiedad del logaritmo de una potencia.

ecuación

Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos tenemos que:

ecuación

Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logaritmo nulo o negativo

ecuación

ecuación

ecuación

2. ecuación

En el 2º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente

ecuación

Restamos en los dos miembros log x y teniedo en cuenta que el log 10 = 1, tenemos:

ecuación

Teniendo en cuenta la definición de logaritmo y que es un logaritmo decimal:

ecuación

3.  ecuación

En primer miembro aplicamos la propiedad del producto y en el 2º la del logaritmo de una potencia

 ecuación

Teniendo en cuenta la inyectividad de los logartmos tenemos:

 ecuación

Resolvemos la ecuación y comprobamos la solución

 ecuación

4.  ecuación

Multiplicamos en los dos miembros por log(3x −4)

 ecuación

En el 2º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia y tenemos en cuenta la inyectividad de los logaritmos

 ecuación

Resolvemos la ecuación, x = 0 no es solución porque nos encontrariamos con el logarítmo de un número negativo en el denominador al sustituir en la ecuación.

 ecuación