Divisibilidad de polinomios 1

Ejercicio 11º resuelto

Hallar a y b para que el polinomio x5 − ax + b sea divisible por x² − 4.

Descomponemos en factores la diferencia de cuadrados

x² − 4 = (x +2) · (x − 2)

(x5 − ax + b) es divisible por (x² − 4) si y sólo si P(x = −2) = 0 y P(x = 2) = 0.

Aplicamos el teorema del resto sabiendo que el resto es cero

P(−2) = (−2)5 − a · (−2) + b = 0

Operamos

−32 + 2a + b = 0         2a + b = 32

Aplicamos el teorema del resto sabiendo que el resto es cero

  P(2) = 25 − a · 2 + b = 0

Operamos

32 − 2a + b = 0          − 2a + b = −32

Hemos obtenido dos ecuaciones con dos incognitas. Resolveremos el sistema por reducción

sistema        solución