Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más o menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Si los dos signos del binomio son iguales, el doble del primero por el segundo es positivo.

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

Si los signos del binomio son distintos, el doble del primero por el segundo es negativo.

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

Ejemplos

1. (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x ² + 6 x + 9

2. (2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9

3. (−2x² + 3)² = (−2x²)² + 2 · (−2x²) · 3 + 3² = 4x4 − 12x² + 9

4. (−2x² − 3y)² = (−2x²)² + 2 · (−2x²) · (−3y) + (−3y)² = 4x4 + 12x²y + 9y²

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a² − b²

Ejemplos

1. (2x + 5) · (2x - 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25

2. (2x² + y³) · (2x² − y³) = (2x²)² − (y³)² = 4x4 − y6

Binomio al cubo

Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

Esta fórmula es necesaria saberla, las que damos en los ejemplos son opcionales.

Ejemplos

1. (x + 3)³ =

= x³ + 3 · x² · 3 + 3 · x · 3² + 3³ =

= x³ + 9x² + 27x + 27

2. (2x 3)³ =

= (2x)³ + 3 · (2x)² · (−3) + 3 · 2x · (−3)² + (−3)³ =

= 8x³ − 36x² + 54x − 27

Si nos fijamos en los signos obtenidos: +, −, +, −. Podemos dar una variante a la fórmula anterior:

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

3. (−3x² + 2x)³ =

= (−3x²)³ + 3 · (−3x²)² · (2x) + 3 · (−3x²) · (2x)² + (2x)³=

= −27x6 + 3 · 9x4 · 2x 3 · 3x² · 4x² + 8x³ =

= −27x6 + 54x5 36x4 + 8x³

Los signos obtenidos son: −, +, −, +. Podemos dar otra variante:

(−a + b)³ = −a³ + 3 · a² · b − 3 · a · b² + b³

4. (−3xy² − 2xy)³ =

= (−3xy²)³ + 3 · (−3xy²)² · (−2xy) + 3 · (−3xy²) · (−2xy)² + (−2xy)³ =

= −27x³y6 − 3 · 9x²y4 · 2xy − 3 · 3xy² · 4x²y² − 8x³y³ =

= −27x³y6 − 54x³y5 − 36x³y4− 8x³y³

Los signos obtenidos son: −, −, −, −. Podemos dar otra variante:

(−a − b)³ = −a³ − 3 · a² · b − 3 · a · b² − b³

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero.

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

Ejemplos

1. (x² − x + 1)² =

= (x²)² + (−x)² + 1² + 2 · · (−x) + 2 · · 1 + 2 · (−x) · 1=

= x4 + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x=

= x4 − 2x³ + 3x² − 2x + 1

2. (2x² − x − 3)² =

= (2x²)² + (−x)² + (−3)² + 2 · (2x²) · (−x) + 2 · (2x²) · (−3) + 2 · (−x) · (−3) =

= 4x4 + x² + 9 − 4x³ − 12x² + 6x =

= 4x4 − 4x³ − 11x² + 6x + 9

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

Ejemplo

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² − 6x + 9)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

Ejemplo

8x³ − 27 = (2x − 3) (4x² + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab

Ejemplo

(x + 2) (x + 3)=

= x² + (2 + 3) · x + 2 · 3 =

= x² + 5x + 6