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En este artículo explicamos los productos notables más comúnes acompañados de ejemplos puntuales para profundizar en la teoría.
¿Qué son los productos notables? Los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas las cuales sobresalen de las demás multiplicaciones por su frecuente aparición en matemáticas. De ahí el nombre producto, que hace referencia a "multiplicación" y notable, que hace referencia a su "destacada" aparición.
Así bien, una vez aprendido dichos productos notables, no habrá necesidad de comprobar dicha multiplicación mecánicamente, es decir, solo debemos seguir las reglas aprendidas con anterioridad que caracterizan a cada producto notable.
Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
Si los dos signos del binomio son iguales, el doble del primero por el segundo es positivo.
Si los signos del binomio son distintos, el doble del primero por el segundo es negativo.
Ejemplos de ejercicios con binomios al cuadrado
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Para resolver este caso usamos la primer fórmula tomando y , sustituimos y nos queda
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Para resolver este caso usamos la segunda fórmula tomando y , sustituimos y nos queda
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Para resolver este caso usamos la primer fórmula tomando y , sustituimos y nos queda
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Para resolver este caso usamos la primer fórmula tomando y , sustituimos y nos queda
Repasa las identidades notables con un profesor de matematicas.
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
Ejemplos de ejercicios con suma por diferencia
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Usando la fórmula llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda
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Usando la fórmula llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda
Binomio al cubo
Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Recomendamos aprenderte esta fórmula.
Ejemplos de ejercicios con binomios al cubo
1
Usando la fórmula llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda
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Usando la fórmula llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda
Si nos fijamos en los signos obtenidos: +, −, +, −. Podemos dar una variante a la fórmula anterior:
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Usando la fórmula de llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda
Los signos obtenidos son: −, +, −, +. Podemos dar otra variante:
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Usando la fórmula de llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda
Los signos obtenidos son: −, −, −, −. Podemos dar otra variante:
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero.
Ejemplos de ejercicios con trinomios al cuadrado
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Para resolver este ejercicio tomamos , y , sustituimos en la fórmula y nos queda
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Para resolver este ejercicio tomamos , y , sustituimos en la fórmula y nos queda
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Suma de cubos
Ahora en vez de desarrollar a las expresiones, lo que haremos será factorizarlas, es decir, las escribiremos como el producto de otras dos expresiones.
La forma en que se factoriza la suma de cubos es la siguiente:
Ejemplo de ejercicio con suma de cubos
Factorizar la expresión siguiente:
Primero, miramos como podemos reescribir los términos para usar la fórmula de factorización de cubos. En este caso, podemos reescribir la expresión de la manera siguiente:
Utilizando la fórmula de cubos y considerando que y , tenemos:
Desarollando, tenemos:
Diferencia de cubos
La fórmula para diferencia de cubos tiene la siguiente estructura:
Ejemplo de ejercicio con diferencia de cubos
Factorizar la expresión siguiente:
Igual que anteriormente, es importante mirar, en primer lugar, como podemos reescribir los términos para usar la fórmula de factorización de cubos. En este caso, podemos reescribir la expresión de la manera siguiente:
Utilizando la fórmula de cubos y considerando que y , tenemos:
Desarollando, tenemos:
Producto de dos binomios que tienen un término común
Cuando se presenta le producto de dos binomios con término común, es más simple el desarrollo y queda de la siguiente manera:
Ejemplo de ejercicio con producto de dos binomios con término común
Desarollar la expresión siguiente:
No es necesario recordar la fórmula, si, siguiendo los pasos de desarrollo y con atención a los signos, simplemente operamos paso a paso.
Primero, tomamos los términos dentro del primer paréntesis y los multiplicamos con la segunda de esta manera:
Recomendamos guardar los paréntesis y deshacerlos posteriormente. Así, nos aseguramos de no haber olvidado cambiar un + por un - o al revés. En este caso, no hay ningún cambio de signo.
Ejemplos de ejercicios resueltos de productos notables
Desarrolla los binomios al cuadrado.
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Usamos la fórmula , donde y , sustituimos y nos queda
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Usamos la fórmula , donde y , sustituimos y nos queda
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Usamos la fórmula , donde y , sustituimos y nos queda
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Usamos la fórmula , donde y , sustituimos y nos queda
Desarrolla los binomios al cubo.
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Usamos la fórmula , donde y , sustituyendo nos queda
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Usamos la fórmula , donde y , sustituyendo nos queda
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Usamos la fórmula , donde y , sustituyendo nos queda
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Usamos la fórmula , donde y , sustituyendo nos queda
Desarrolla las sumas por diferencias
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Usamos la fórmula , donde y , sustituyendo nos queda
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Usamos la fórmula , donde y , sustituyendo nos queda
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Usamos la fórmula , donde y , sustituyendo nos queda
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Usamos la fórmula , donde y , sustituyendo nos queda
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
El valor númerico de la expresión 7(x²-2x+5)/3 , cuando x =-2
Hola, muchisimas gracias por compartir toda esta enseñanza. Mi duda es por que no me aparece la calificación si mi respuesta es tá acertada. Un saludo
El artículo que me aparece es:
10 ejercicios de polinomios 3 ESO I
Y en ese no sale calificación.
-12X-8-3X+10=2X-9+8Y
R=4n(n-a)+8n(a-n)-n(n-5a
(2x-1)(3x-5)-6x(2÷3x-1÷2)
10x + 2x