Para factorizar un polinomio tendremos en cuenta:

1Si no hay término independiente

Si no hay término independiente hay que sacar factor común.

Sacar factor común de una suma (o resta) consiste en trasformarla en un producto

Aplicaríamos la propiedad distributiva:

a · b + a · c − a · d = a (b + c − d)

Ejemplos

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces

1. x³ + x² = x² (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = −1

2. 2x4 + 4x² = 2x² (x² + 2)

Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x² + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

Doble extracción de factor común

1. x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a)

Sacamos factor común de x y b.

Como (x − a) es ahora un factor común, sacamos factor común de (x − a) .

x² − ax − bx + ab = (x − a) · (x − b)

La raíces son x = a y x = b.

2 Si tenemos un binomio

1.Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces

1. x² − 4 = (x + 2) · (x − 2)

Las raíces son x = −2 y x = 2

2. x4 − 16 = (x² + 4) · (x² − 4) =

= (x + 2) · (x − 2) · (x² + 4)

Las raíces son x = −2 y x = 2

2. Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

Ejemplo

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² − 6x + 9)

3. Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

Ejemplo

8x³ − 27 = (2x − 3) (4x² + 6x + 9)

3Si tenemos un trinomio

1Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a² ± 2 a b + b² = (a ± b)²

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces

1. trimomio

Tenemos que preguntarnos:

Qué número elevado al cuadrado da 9: 3

Qué número elevado al cuadrado da x²: x

Y tenemos que comprobar que 2 · 3 · x = 6x

La raíz es x = −3, y se dice que es una raíz doble.

2. trimomio

Qué número elevado al cuadrado da x²: x

Qué número elevado al cuadrado da 4: 2

Y tenemos que comprobar que 2 · x · 2 = 4x

La raíz doble es x = 2.

2Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax² + bx + c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces

1. trinomio

Igualamos el trinomio a cero

trinomio

Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado fórmula

ecuación de 2º grado

Factorizamos

factorización

Las raíces son x = 3 y x = 2.

2. trinomio

Igualamos el trinomio a cero

trinomio

Resolvemos la ecuación

ecuación de 2º grado

Factorizamos

factorización

Las raíces son x = 3 y x = −2.

3Trinomios de cuarto grado de exponentes pares

Para hallar las raíces se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada.

Ejemplos

1. x4 − 10x² + 9

Igualamos el polinomio a cero

x4 − 10x² + 9 = 0

Realizamos un cambio de varible

x² = t

t² − 10t + 9 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado

bicuadrada

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

soluciones

soluciones

x4 − 10x² + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

2. x4 − 2x² − 3

Igualamos el polinomio a cero

x4 − 2x² − 3 = 0

Realizamos un cambio de varible

x² = t

t² − 2t − 3 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado

bicuadrada

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

soluciones

x² = −1, no tiene raíces reales, ya que no existe ningún número que elevado al cuadrado sea negativo

Se factoriza como (x² + 1)

soluciones

x4 − 2x² + 3 = (x² + 1) · (x +RAÍZ DE TRES) · (x −RAÍZ DE TRES)

4Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.

Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:

P(x) = 2x4 + x³ − 8x² − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

Ruffini

4Por ser la división exacta, D = d · c

(x − 1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones para encontrar el segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (−1)³ + 3 · (−1)² − 5 · (−1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0

Ruffini

(x −1) · (x + 1) · (2x² +x −6)

Otra raíz es x = −1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por 1.

P(−1) = 2 · (−1)² + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 2² + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)² + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

Ruffini

(x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (2x − 3)

Sacamos factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional.

2x − 3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x4 + x³ − 8x² − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

5 Raíces racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales.

En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los divisores del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 12x³ + 8x² − 3x− 2

Probamos por: divisores.

teorema del resto

Ruffini

Factorizamos. D = d · c

Factorización

Volvemos a probar por ½

T. del  resto

Probamos por −½

T. del resto

Ruffini

Factorizamos. D = d · c

Factorización

Sacamos factor común 12 en el tercer factor.

Factorización