Teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).

Raíces de un polinomio

Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio, por tanto su valor númerico es cero.

P(a) = 0

Ejemplo:

Comprobar que 2 y 3 son las raíces del polinomio:

P(x) = x² − 5x + 6

P(2) = 2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

P(3) = 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio P(x) = x² − 5x + 6, ya que P(2) = 0 y P(3) = 0.

Propiedades de las raíces y factores de un polinomio

1Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio.

Ejemplo:

Si tenemos P(x) = x² − 6x + 8, las posibles raíces son divisores de 8: ±1, ±2, ±4 y ±8.

P(2) = 2² − 6 · 2 + 8 = 4 − 12 + 8 = 0

P(4) = 4² − 6 · 4 + 8 = 16 − 24 + 8 = 0

2 y 4 son raíces del polinomio P(x) = x² − 6x + 8.

2A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).

Ejemplo:

Para x = 2, le corresponde el binomio: (x − 2)

Para x = −2, le corresponde el binomio: (x + 2)

3Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.

Ejemplo

x² − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)

4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

Ejemplos:

x² − x − 6 = (x + 2) · (x − 3)     1 + 1 = 2

x³ + 3x² − 4x − 12 = (x − 2) · (x + 2) · (x +3)     1 + 1 + 1 = 3

x4 − 10x² + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)      1 + 1 + 1 + 1 = 4

5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, o lo que es lo mismo, admite como factor x.

Ejemplo

x² + x = x · (x + 1)

Raíces: x = 0 y x = − 1

6Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

Ejemplo:

P(x) = x² + x + 1

Las posibles raíces son los divisores del término independiente son: ±1

P(−1) = (−1)² + (−1) + 1 = 1 − 1 +1 ≠ 0

P(1) = 1² + 1 + 1 = 1 + 1 +1 ≠ 0

Cálculo de las raíces y factores de un polinomio

Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el teorema del resto y sabremos para que valores la división es exacta.

Ejemplos

1P(x) = x² − x − 6

Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.

P(1) = 1² − 1 − 6 ≠ 0

P(−1) = (−1)² − (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2² − 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = (−2)² − (−2) − 6 = 4 + 2 6 = 0

P(3) = 3² − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0

Como el polinomio es de segundo grado tendrá como máximo dos raíces

Las raíces son: x = −2 y x = 3.

P(x) = (x + 2) · (x − 3)

2Q(x) = x³ − 2x² − 5x + 6

Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3, ±6.

Q(1) = 1³ − 2 · 1² − 5 · 1 + 6 = 0

Q(−1) = (−1)³ − 2 · (−1)² − 5 · (−1) + 6 ≠ 0

Q(2) = 2³ − 2 · 2² − 5 · 2 + 6 ≠ 0

Q(−2) = (−2)³ − 2 · (−2)² − 5 · (−2) + 6 = 0

Q(3) = 3³ − 2 · 3² − 5 · 3 + 6 = 0

Como el polinomio es de tercer grado tendrá como máximo tres raíces

Las raíces son: x = 1, x = −2 y x = 3.

Q(x) = (x − 1) · (x + 2) · (x − 3)

3R(x) = x4 − 10x² + 9

Los divisores del término independiente son: ±1, ±3.

R(1) = 14 − 10· 1² + 9 = 0

R(−1) = (−1)4 − 10· (−1)² + 9 = 0

R(3) = 34 − 10· 3² + 9 = 0 = 0

R(−1) = (−3)4 − 10 · (−3)² + 9 = 0

Como el polinomio es de tercer grado tendrá como máximo cuatro raíces

Las raíces son: x = 1, x = −1, x = 3 y x = −3.

R(x) = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)