El teorema del resto nos dice que el resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Por tanto el teorema del resto nos permite conocer el resto de la división por un binomio del tipo (x − a), basta con hallar el valor numérico de x = a, es decir, por el valor del término independiente del binomio cambiado de signo.

El teorema del resto nos será muy útil para la descomposición en factores de un polinomio y para resolver determinado tipo de ecuaciones.

Ejemplos:

Calcular, por el teorema del resto, el resto de la división:

1 (x4 − 3x² + 2) : (x − 3)

Tenemos que hallar el valor numérico del polinomio para x = 3, es decir, para el término independiente del binomio cambiado de signo.

P(3) = 34 − 3 · 3² + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini.

división

2Dado el polinomio: P(x) = 2x4 + x³ − 8x² − x + 6, halla el resto que se obtiene al dividirlo por:

1 (x + 1)

En este caso x = −1

P(−1) = 2 · (−1)4 + (−1)³ − 8 · (−1)² − (−1) + 6 =

= 2 · 1 − 1 − 8 · 1 + 1 + 6 = 2 − 1 − 8 + 1 + 6 = 0

2 (x − 1)

Hallamos el valor numérico para x = 1

P(1) = 2 · 14 + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3 (x + 2)

Hallamos el valor numérico para x = −2

P(−2) = 2 · (−2)4 + (−2)³ − 8 · (−2)² − (−2) + 6 =

= 2 · 16 − 8 − 8 · 4 + 2 + 6 = 32 − 8 − 32 + 2 + 6 = 0

4 (x − 2)

Hallamos el valor numérico para x = 2

P(2) = 2 · 24 + 2³ − 8 · 2² − 2 + 6 = 2 · 16 + 8 − 8 · 4 − 2 + 6 =

=32 + 8 − 32 − 2 + 6 = 12