Tabla de distribución normal 1

 

Tabla de distribución normal z

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Variable aleatoria en distribución normal

 

Si es una variable aleatoria de una distribución , hallar: .

 

 

Si es una variable aleatoria de una distribución , hallar: .

 

En este caso, se esta trabajando con una distribución normal estandar, para resolverlo utilizaremos la formula siguiente:

 

 

 

Ahora, tenemos que localizar en nuestra tabla de distribución normal, localizamos el valor cuando , pero necesitamos el valor para cuando , entonces se utiliza entonces obtenemos que . Además, como la distribución normal es simétrica, tenemos que .

 

 

Es decir, que aproximadamente el de los valores de están a menos de tres desviaciones típicas de la media.

 

Distribución normal, media y desviación típica:

 

En una distribución normal de media y desviación típica , calcular el valor de a para que:

 

 

En una distribución normal de media y desviación típica , calcular el valor de a para que:

 

Utilizando la formula , vamos a sustituir el valor de la media ( ), y la desviación típica ( ).

 

 

Al simplificar, obtenemos:

 

 

De donde se sigue que

 

 

Ahora localizamos en la tabla de distribución normal el valor y observamos que corresponde a , entonces:

 

 

Distribución normal aplicada a la temperatura ambiental

 

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media y desviación típica .

 

Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre y .

 

 

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media y desviación típica .

 

Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre y .

 

Utilizando la formula , vamos a sustituir el valor de la media (), y la desviación típica ( ).

 

 

Buscamos los valores correspondientes en la tabla de distribución normal:

 

 

Por lo tanto

 

 

Esto quiere decir, que en todo el mes, solo días alcanzarán temperaturas entre y grados.

 

Distribución normal aplicada al peso de los estudiantes

 

La media de los pesos de estudiantes de un colegio es y la desviación típica .

 

Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

 

1 Entre y .

 

2 Más de .

 

3 Menos de .

 

4 .

 

5 o menos.

 

 

La media de los pesos de estudiantes de un colegio es y la desviación típica .

 

Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

 

1 Entre y .

 

Sustituyendo:

Localizando los valores en la tabla de distribución normal y operando:

 

 

Por lo tanto, si multiplicamos la probabilidad por los estudiantes tenemos

 

 

De los estudiantes se encuentran entre los y kilogramos de peso.

2 Más de .

 

Sustituyendo y simplificando tenemos:

 

Multiplicando la probabilidad por obtenemos

.

 

Es imposible hallar a un solo estudiante por encima de los kilogramos.

 

3 Menos de .

 

Sustituyendo y simplificando tenemos:

Multiplicando la probabilidad por obtenemos

 

 

Hay estudiantes que pesan menos de kilogramos

 

4 .

 

Cuando la distribución es continua, la probabilidad de que la variable tenga un valor exacto siempre es nula (). Por lo tanto

 

.

 

5 o menos.

 

Dados los resultados anteriores:

 

Existen cero estudiantes que pesan kilogramos exactos y hay estudiantes que pesan menos de kilogramos, entonces, existen estudiantes que pesan kilogramos o menos.

 

.

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Distribución normal para la aplicación de exámenes

 

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media y desviación típica .

Se pide:

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a ?

 

2 Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas)

 

3 Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que , ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a ?

 

 

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media y desviación típica .

 

Se pide:

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a ?

 

Sustituimos los valores en la formula:

 

La probabilidad de que una persona obtenga una puntuación mayor a al presentar el examen es de .

 

2 Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

 

Sustitución de valores en la formula:

 

 

Localizamos la probabilidad en la tabla de distribución de normal, es , esto significa que

 

Despejamos :

 

 

Calculamos para :

 

 

El porcentaje de alumnos que son Aptos y ademas su puntaje esta unidades por encima de la frontera de No-Aptos es de .

 

3 Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que ¿Cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a ?

 

Sustituimos:

 

Por el primer inciso de este ejercicio sabemos que la probabilidad de que un alumno obtenga una puntuación mayor a los puntos al hacer el examen es de .

 

 

Ahora utilizaremos la formula de probabilidad condicional:

 

 

Sustituimos:

 

 

La probabilidad de que un alumno que obtuvo una puntuación mayor a haya obtenido de hecho una puntuación mayor a es de .

 

Distribución normal para la clasificación de grupos

 

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución .

 

Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un la población, un el segundo y un en el tercero.

 

¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

 

 

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución .

 

Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un la población, un el segundo y un en el tercero.

 

¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

 

Gráfica de distribución normal campana de Bell

 

Localizamos en nuestra tabla el parámetro correspondiente a la probabilidad , el cual es :

 

 

Por lo que, si , entonces

 

 

Ahora localizamos en la tabla el parámetro para la probabilidad de , el cual es , lo que significa que

 

 

Por lo que, si , entonces

 

 

Baja cultura hasta puntos.

Cultura aceptable entre y .

Excelente cultura a partir de puntos.

 

Calculo de coeficiente intelectual a través de distribución normal

 

Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media y desviación típica .

 

1 Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre y .

 

2 ¿Qué intervalo centrado en contiene al de la población?

 

3 En una población de individuos, ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a ?

 

 

Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media y desviación típica .

 

1 Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre y .

 

Sustitución de valores en la formula:

 

 

El porcentaje de la población que obtendrá un puntaje entre y es de .

 

 

2 ¿Qué intervalo centrado en contiene al de la población?

 

Gráfica de distribución normal dibujo de campana Bell

 

Como queremos tomar el del centro de la población, entonces tomamos el intervalo que esta entre el y el

 

Localizamos en la tabla el parámetro para la probabilidad de y de

 

 

Sustituimos y despejamos

 

 

y

 

 

Entonces, el intervalo es: .

 

El intervalo centrado que contiene al de la población obtendrá un puntaje entre y .

 

3 En una población de individuos, ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a ?

 

Sustituimos valores en la formula, calculamos el parámetro y  localizamos la probabilidad en la tabla

 

 

Multiplicando esta probabilidad por los individuos obtenemos

 

 

En una población de individuos, se espera que de ellos tengan un coeficiente superior a .

 

Uso de la distribución normal para calculo de probabilidad

 

En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono.

Si se eligen al azar familias, calcular la probabilidad de que entre  ellas haya por lo menos con teléfono.

 

 

En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono.

 

Si se eligen al azar familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos con teléfono

 

 

    • n: Cantidad de familias a elegir.

 

    • p: Probabilidad de seleccionar una familia que tenga teléfono.

 

  • q: Complemento de la probabilidad.

 

 

Para resolver este tipo de ejercicios usaremos el Teorema de Moivre-Laplace para Probabilidad:.

 

Si tenemos que es una variable aleatoria binomial de parámetros y, entonces se puede aproximar a una distribución normal de media  y desviación típica  (donde ) si se cumplen las dos condiciones siguientes:

 

    • Condición 1.  .

 

  • Condición 2.  .

 

Entonces, la variable binomial  quedaría aproximada por la variable normal .

 

Como , se cumple la condición 1.

 

 

Entonces, se cumple la condición 2.

 

Entonces utilizamos la formula .

 

Sustituimos los datos:

 

 

Ahora utilizamos la formula de distribución normal

 

 

Sustituimos , operamos y localizamos el valor de la probabilidad en nuestra tabla de distribución normal:

 

Al seleccionar familias al azar, existe una probabilidad de de haber seleccionado por lo menos familias con teléfono.

 

Probabilidad de un evento con variable aleatoria

 

En un examen tipo test de preguntas de elección múltiple,  cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta.

Se aprueba si se contesta a más de respuestas correctas.

Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

 

 

En un examen tipo test de preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta.

 

Se aprueba si se contesta a más de respuestas correctas.

 

Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen

 

Utilizamos el Teorema de Moivre-Laplace para Probabilidad:

 

Comprobamos las condiciones:

 

Primera condición:

 

 

Segunda condición: 

 

Como ambas condiciones se cumplen, usaremos la formula

 

.

Sustituimos:

Ahora utilizaremos

 

 

Al contestar al azar un examen tipo test de opción múltiple existe la probabilidad de de aprobar.

Distribución normal para la probabilidad

 

Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el de los hogares tienen al menos dos televisores, se elige al azar una muestra de hogares en el citado barrio.

 

Se pide:

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?

 

2 ¿Cuál es la probabilidad de que entre y hogares tengan cuando menos dos televisores?

 

 

Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de hogares en el citado barrio.

 

Se pide:

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?

 

Utilizamos el Teorema de Moivre-Laplace para Probabilidad, comprobamos si se cumplen las condiciones:

 

 

Como ambas condiciones se cumplen, usaremos la formula .

 

Sustituimos:

 

 

Ahora utilizaremos .

 

Sustituimos:

 

 

2 ¿Cuál es la probabilidad de que entre y hogares tengan cuando menos dos televisores?

 

Utilizando la formula , vamos a sustituir el valor de la media y la desviación típica

 

 

La probabilidad de que entre y hogares tengan al menos televisores es de .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗