Ejercicios de la esperanza matemática

1Dada la experiencia aleatora de anotar las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado, calcular:

1La función de probabilidad y su representación

2La función de distribución y su representación

3La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica

2Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

x p i
0 0,1
1 0,2
2 0,1
3 0,4
4 0,1
5 0,1

1Calcular, representar gráficamente la función de distribución

2Calcular las siguientes probabilidades:

p (X < 4.5)

p (X ≥ 3)

p (3 ≤ X < 4.5)

3Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥ 2) = 0.75. Hallar la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica

4Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable

5Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza

6Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego

7Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

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Ejercicio 1 resuelto

Dada la experiencia aleatora de anotar las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado, calcular:

Soluciones:

1La función de probabilidad y su representación

x p i
1 p
2 p
3 p
4 p
5 p
6 p
      1
gráfica

2La función de distribución y su representación

x p i
x <1 0
1≤ x < 2 p
2≤ x < 3 p
3≤ x < 4 p
4≤ x < 5 p
5≤ x < 6 p
6≤ x 1
gráfica

3La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica

 x p i x· p i x 2 ·pi
1 p p p
2 p p p
3 p p x 2 ·pi
4 p p x 2 ·pi
5 p p x 2 ·pi
6 p 1 6
             sumatoria sumatoria

Resultados

Resultados

Resultados

Ejercicio 2 resuelto

Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

x p i
0 0,1
1 0,2
2 0,1
3 0,4
4 0,1
5 0,1
Soluciones:

1Calcular, representar gráficamente la función de distribución

f(x)

2>Calcular las siguientes probabilidades:

p (X < 4.5)

p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9

p (X ≥ 3)

p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6

p (3 ≤ X < 4.5)

p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5

Ejercicio 3 resuelto

Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥ 2) = 0.75. Hallar la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.

distribución

solución

distribución

 x p i x · p i x 2· pi
0 0.1 0 0
1 0.15 0.15 0.15
2 0.45 0.9 1.8
3 0.1 0.3 0.9
4 0.2 0.8 3.2
    2.15 6.05

μ =2.15

σ² = 6.05 - 2.15² = 1.4275

σ = 1.19

Ejercicio 4 resuelto

Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}

p(+1) = 2/4

p(+2) = 1/4

p(−5) = 1/4

μ = 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = 1/4. Es desfavorable

Ejercicio 5 resuelto

Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza

 x p i x · p i x 2· pi
2 1/36 2/36 4/36
3 2/36 6/36 18/36
4 3/36 12/36 48/36
5 4 /36 20/3 6 100/36
6 5/36 30/36 180/36
7 6/36 42/36 294/36
8 5/36 40/36 320/36
9 4 /36 36/36 324/36
10 3/36 30/36 300/36
11 2/36 22/36 242/36
12 1/36 12/36 144/36
    7 54.83

media

media

Ejercicio 6 resuelto

Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.

 x p i x· p i
+100 p 100/6
+ 200 p 200/6
+ 300 p 300/6
- 400 p -400/6
+ 500 p 500/6
-600 p - 600/6
             100/6

µ =16.667

Ejercicio 7 resuelto

Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

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