Problemas de combinatoria

1¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

2¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

3¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.

4En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

5¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

6¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

7¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados?

8¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

9En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

10Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares?

11Con el (punto, raya) del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones?

12¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?

13Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

1Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

2Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

3Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

14Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

15Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

16Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

17En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

18Con nueve alumnos de una clase se desea formar tres equipos de tres alumnos cada uno. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

19Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

20Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

21¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

22Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

23Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

24Halla el número de capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras?

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Ejercicio 1 resuelto

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

permutaciones

Ejercicio 2 resuelto

¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

solución

Ejercicio 3 resuelto

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.

m = 5     n = 5

entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

Ejercicio 4 resuelto

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.

Noimporta el orden: Juan, Ana.

Nose repiten los elementos.

Combinaciones

Ejercicio 5 resuelto

¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 6     n = 3

Tenemos que separar el número en dos bloques:

bloque

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),

m = 5     n = 1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.

m = 6     n = 2

solución

Ejercicio 6 resuelto

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

Permutaciones circulares

Ejercicio 7 resuelto

¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados?

m = 3     n = 15     m < n

entran todos los elementos. En este caso el número de orden es mayor que el número de elementos.

importa el orden.

se repiten los elementos.

repetición

Ejercicio 8 resuelto

¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

solución

Ejercicio 9 resuelto

En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4.

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

solución

Ejercicio 10 resuelto

Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares?

entran todos los elementos: 3 < 5

importa el orden.

se repiten los elementos.

solución

Si el número es par tan sólo puede terminar en 2.

solución

Ejercicio 11 resuelto

Con el (punto, raya) del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones?

No entran todos los elementos en un caso y entran en lo otros

importa el orden.

se repiten los elementos.

solución

Ejercicio 12 resuelto

¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?

Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Son combinaciones, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.

solución

solución

Ejercicio 13 resuelto

Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

Soluciones:

1Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

solución

2Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

solución

3Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

solución

Ejercicio 14 resuelto

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9

entran todos los elementos.

importa el orden.

se repiten los elementos.

Permutaciones con repetición

Ejercicio 15 resuelto

Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

entran todos los elementos.

importa el orden.

No se repiten los elementos.

solución

Ejercicio 16 resuelto

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

entran todos los elementos.

importa el orden.

No se repiten los elementos.

solución

Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8

solución

Ejercicio 17 resuelto

En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

entran todos los elementos.

importa el orden.

se repiten los elementos.

Permutaciones con repetición

Ejercicio 18 resuelto

Con nueve alumnos de una clase se desea formar tres equipos de tres alumnos cada uno. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

solución

Ejercicio 19 resuelto

Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:

entran todos los elementos.

importa el orden.

No se repiten los elementos.

solución

Ejercicio 20 resuelto

Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

solución

Ejercicio 21 resuelto

¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

No entran todos los elementos.

importa el orden.

No se repiten los elementos.

solución

Ejercicio 22 resuelto

Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

Soluciones:

1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

solución

solución

2Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

solución

solución

Ejercicio 23 resuelto

Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

solución

Ejercicio 24 resuelto

Halla el número de capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras?

solución

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