La combinatoria es una rama emocionante de las matemáticas que se enfoca en contar, organizar y analizar distintas formas en que los objetos pueden combinarse o agruparse. Desde la resolución de acertijos hasta la optimización de estrategias, la combinatoria tiene una amplia gama de aplicaciones en la vida cotidiana y en diversas disciplinas, como la informática, la estadística, la biología y la teoría de juegos.
En esta colección de ejercicios y problemas de combinatoria, te sumergirás en el fascinante mundo de las permutaciones, combinaciones, variaciones, conjuntos y mucho más. Cada desafío plantea una oportunidad única para fortalecer tu pensamiento analítico, habilidades de resolución de problemas y comprensión de conceptos matemáticos fundamentales.
Tanto si eres nuevo en la combinatoria como si estás buscando perfeccionar tus habilidades, esta selección de ejercicios te guiará desde los conceptos básicos hasta desafíos más avanzados. Prepárate para explorar patrones intrigantes, estrategias ingeniosas y abordajes creativos para resolver problemas que te desafiarán a pensar de manera única.
Puestos en club de fútbol
¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 
posibles candidatos?
No entran todos los elementos
Sí importa el orden
No se repiten los elementos
Combinatoria de 5 letras
Con las letras de la palabra libro. ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de las 
letras restantes tomadas de en .
Sí entran todos los elementos
Sí importa el orden
No se repiten los elementos
Combinatorias con los colores del arco iris
¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos
No importa el orden. Consideraremos mezclas iguales aquellas que contengan los mismos colores pero distinto orden.
No se repiten los elementos
Combinatoria: 5 cifras con restricción
¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares 
? ¿Cuántos de ellos son mayores de 
?
¿Cuántos de ellos son mayores de 
?
Sí entran todos los elementos 
Sí importa el orden
No se repiten los elementos, ya que especificamos que las cifras deben de ser distintas.
Si es impar, sólo puede empezar por 
o 
. Entonces, si restringimos la primer cifra a estas dos posibilidades únicamente, tenemos
Combinatoria: 3 cifras con restricción
¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con las cifras 
? ¿Cuántos de ellos son pares?
No entran todos los elementos 
Sí importa el orden
No se repiten los elementos, ya que especificamos que las cifras deben de ser distintas.
Si es par, sólo puede terminar por 
o 
. Entonces, si restringimos la última cifra a estas dos posibilidades únicamente, tenemos
Liguilla de 4 equipos
¿Cuántos partidos distintos se pueden realizar dados cuatro equipos de futbol?
No entran todos los elementos (sólo se toman dos equipos)
No importa el orden (Es lo mismo A vs B que B vs A).
No se repiten los elementos
Número de saludos en una reunión
A una reunión asisten 
personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos
Elementos de cinco cifras usando solo tres números.
Con las cifras 
, 
y 
. ¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares?
Sí entran todos los elementos: 
.
Sí importa el orden
Sí se repiten los elementos
.
Dados los dígitos , y , un número solamente puede ser par si terminar con . Así, la cantidad de números pares está dada por
Como ganar la lotería
¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 
?
No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos
Fútbol: Cuadro deportivo
¿De cuántas formas pueden colocarse los 
jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta de la portería mientras que los otros pueden jugar en cualquier otra posición que no sea portero?
Notemos que disponemos de jugadores que pueden ocupar posiciones distintas.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden
No se repiten los elementos.
Combinatoria de pulsaciones en código Morse
Con el punto y raya del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones?
Dado que tomamos como máximo cuatro pulsaciones, debemos considerar y sumar una, dos, tres y cuatro pulsaciones. Entonces:
No entran todos los elementos en un caso y sí entran en lo otros
Sí importa el orden
Sí se repiten los elementos
Ejercicio sobre cambio de asientos con restricción
Una mesa presidencial está formada por ocho persona. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?
Nota: Supongamos que, si todos están sentados, luego deciden levantarse y sentarse en la silla de su lado derecho (desplazarse un lugar), entonces esta es una configuración o 'forma' diferente a la anterior.
Se forman dos grupos:
El primero de dos personas. Ya sea 
o 
(
).
El segundo sería considerado como un grupo de 
personas. Este grupo está conformado por las 6 personas restante y el otro grupo considerado arriba.
Basta pensar en el grupo formado por el presidente y el secretario como una única persona (pues siempre van juntos).
En los dos se cumple que:
Sí entran todos los elementos
Sí importa el orden
No se repiten los elementos
No es necesario fijar una posición, pues desplazar a todos los individuos un lugar produce una permutación distinta
Otro ejercicio sobre cambio de asientos con restricción
Se tiene una fila de asientos para ocho persona. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, si dos de ellas no pueden estar juntos?
Se forman tres grupos:
El primero de dos personas que no deben estar juntos, las juntamos y lo consideramos como los casos no deseados.
El segundo sería considerado como un grupo de personas. Este grupo está conformado por las 6 personas restante y el otro grupo considerado arriba y también lo consideramos como los casos no deseados.
En los dos se cumple que:
Sí entran todos los elementos
Sí importa el orden
No se repiten los elementos
No es necesario fijar una posición, pues desplazar a todos los individuos un lugar produce una permutación distinta
El tercero sería considerado todas las posibilidades de sentar a las ocho personas, esto contiene los casos deseados y no deseados
Para obtener las posibilidades donde nunca están juntas estas dos personas, restamos los casos no deseados del total de casos
Número de triángulos en un pentágono
¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se pueden formar con sus vértices?
Son 
, a las que tenemos que restar los lados que determinan 
rectas que no son diagonales.
No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos
e tenemos que restar los lados que determinan
rectas que no son diagonales. 
La cantidad de triángulos son la cantidad de tres puntos que podemos tomar de los cinco que conforman el pentágono, en donde
No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos
Ejercicios de combinatoria con restricciones
Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de dos hombres y tres mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1 Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2 Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3 Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
1 Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2 Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3 Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Quiero aprender más sobre matemáticas 💯 y como puedo hacer un ejemplo sobre la clase de permutaciones…y que fórmulas debo usar
Hola estas en el lugar indicado para aprender matematicas, en cuanto al tema que mencionas tenemos varios artículos que te pueden ayudar por ejemplo «https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/variaciones-permutaciones-y-combinaciones.html» con este puedes comenzar.
En el ejercicio «Una mesa presidencial está formada por ocho personas. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?» hay un error en la solución. A mí me sale 10080 = 2×7!
Agradecemos que nos compartieras tu observación. En efecto la solución anterior era para una mesa redonda, ya realizamos la corrección. Un saludo.
Necesito resolver estos problemas de variaciones
V8,5 y V5,3
Supongamos que una escuela deportiva tiene 100 deportistas de los cuales 30 estan en nivel avanzado y 70 estan en nivel intermedio. Si se seleccionan al azar 5 deportistas, calcular la probabilidad de: A. Exactamente de dos de ellos esten en el nivel avanzado B. Exactamente cinco de
En el ejercicio 4 me parece que hay un error, puesto que me da como resultado 70
Una disculpa ya se corrigió.