Ejercicios interactivos de combinatoria II

1A una reunión asisten 15 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se intercambian?

Solución =

Tenemos que formar grupos de 2 personas con las 15 personas que hay.

Se verifica que en cada grupo:

 No entran todos los elementos.

 No importa el orden.

 No se repiten los elementos.

El número de combinaciones sin repetición de 15 elementos tomados de dos en dos es:

2¿De cuántas formas distintas se pueden sentar tres chicos y dos chicas en una fila de butacas de cine si no pueden estar juntos ni dos chicos ni dos chicas?

Solución =

Consideremos la siguiente notación:

O: chico

A: chica

Como no pueden sentarse ni dos chicos ni dos chicas juntos, la manera en la que se sentarán es:

OAOAO

es decir, la fila tiene que empezar y acabar por chico necesariamente.

Un chico puede ocupar entonces las posiciones 1, 3 y 5. Entonces para saber de cuantas maneras se pueden sentar los chicos tenemos que formar grupos con los 3 chicos.

Se verifica que en cada grupo:

 Sí entran todos los elementos.

 Sí importa el orden.

 No se repiten los elementos.

El número de permutaciones sin repetición de 3 elementos es:

De manera análoga, las chicas pueden ocupar las posiciones 2 y 4. Entonces para saber de cuántas maneras se pueden sentar las chicas tenemos que formar grupos con las dos chicas.

En cada grupo se verifica lo mismo que en el caso anterior.

Así que el número de permutaciones sin repetición de 2 elementos es:

Para saber de cuantas formas pueden sentarse las chicas y los chicos tenemos que multiplicar los resultados anteriores:

3En una parada de autobús están esperando tres amigas y dos personas mayores. ¿De cuántas maneras pueden sentarse estas cinco personas si las tres amigas quieren estar siempre juntas para poder hablar entre ellas?

Solución =

Las tres amigas van siempre juntas, así que tenemos que formar grupos con estas tres amigas.

Se verifica que en cada grupo:

 Sí entran todos los elementos.

 Sí importa el orden.

 No se repiten los elementos.

El número de permutaciones sin repetición de 3 elementos es:

Ahora hay que tener en cuenta la manera en la que se sientan las tres amigas y las dos personas mayores. Si consideramos al grupo de las amigas como una unidad, tenemos el grupo de las amigas, una persona mayor y otra persona mayor, es decir, 3 elementos. Así que tenemos que volver a hallar el número de permutaciones sin repetición de 3 elementos.

Para calcular el resultado pedido, multiplicamos los resultados anteriores:

4¿Cuántas fichas tiene el juego del dominó? (Las fichas del dominó se dividen en dos partes y en cada parte aparece una puntuación. Esta puntuación varía desde 0 hasta 6 puntos, es decir, hay 7 puntuaciones distintas).

Solución =

Tenemos que formar grupos de 2 puntuaciones con las 7 distintas que hay.

Se verifica que en cada grupo:

 No entran todos los elementos.

 No importa el orden.

 Sí se repiten los elementos.

El número de combinaciones con repetición de 7 elementos tomados de dos en dos es:

5Para abrir una caja fuerte hay que teclear una clave de 8 cifras. ¿Cuántas claves distintas puede haber?

Solución =

Tenemos que formar grupos de 8 elementos con los 10 dígitos que existen.

Se verifica que en cada grupo:

 No entran todos los elementos.

 Sí importa el orden.

 Sí se repiten los elementos.

El número de variaciones con repetición de 10 elementos tomados de ocho en ocho es:

6En una heladería hay 12 sabores de helado. ¿De cuántas maneras me puedo pedir una tarrina de dos sabores?

Solución =

Tenemos que formar grupos de 2 sabores con los 12 sabores distintos que hay.

Se verifica que en cada grupo:

 No entran todos los elementos.

 No importa el orden.

 No se repiten los elementos.

El número de combinaciones sin repetición de 12 elementos tomados de dos en dos es:

7Tenemos cinco pares distintos de guantes. ¿De cuántas formas puedo elegir dos guantes?

Solución =

Tenemos que formar grupos de 2 guantes con los 10 que hay.

Se verifica que en cada grupo:

 No entran todos los elementos.

 No importa el orden.

 No se repiten los elementos.

El número de combinaciones sin repetición de 10 elementos tomados de dos en dos es:

8En una estantería caben 18 libros. Hay 7 libros de álgebra, 3 de cálculo y 6 de probabilidad. ¿De cuántas maneras se pueden colocar estos 18 libros? (Los libros del mismo tipo se consideran indistinguibles entre sí).

Solución =

Tenemos que formar grupos de 18 elementos donde uno se repite 7 veces, otro 3 veces y otro 6 veces. Como no nos dicen nada acerca de los dos restantes, suponemos que hay uno de cada tipo distintos a los tipos anteriores.

Se verifica que en cada grupo:

 Sí entran todos los elementos.

 Sí importa el orden.

 Sí se repiten los elementos.

El número de permutaciones con repetición de 18 elementos donde uno se repite 7 veces, otro 3, otro 6 veces, y los dos últimos una vez es:

9¿Cuantos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se pueden repetir las cifras?

Solución =

Tenemos que formar grupos de 4 elementos con los 10 dígitos que tenemos.

Se verifica que en cada grupo:

 No entran todos los elementos.

 Sí importa el orden.

 Sí se repiten los elementos.

El número de variaciones con repetición de 10 elementos tomados de cuatro en cuatro es:

De estos 10 000 números habrá algunos que sean de la forma 0004, 0056, 0289, es decir, que empezarán por cero, así que estos números no son de cuatro cifras. Por tanto a los 10 000 números que teníamos hay que quitarles estos últimos.

Tenemos que formar grupos de 3 elementos con los 10 dígitos.

Se verifica que en cada grupo:

 No entran todos los elementos.

 Sí importa el orden.

 Sí se repiten los elementos.

El número de variaciones con repetición de 10 elementos tomados de tres en tres es:

Luego,

así que se pueden formar 9 000 números de cuatro cifras.

10¿De cuántas formas se pueden colocar 30 alumnos en los 5 asientos de la primera fila de la clase? ¿Y si el delegado tiene un sitio fijo en esos 5 asientos?

Solucion delegado en cualquier sitio =

Solucion delegado primera fila =

Tenemos que formar grupos de 5 niños con los 30 niños de la clase.

Se verifica que en cada grupo:

 No entran todos los elementos.

 Sí importa el orden.

 No se repiten los elementos.

El número de variaciones sin repetición de 30 elementos tomados de cinco en cinco es:

Si el delegado tiene un asiento reservado, no se tiene en cuenta. Entonces hay que formar grupos de 4 niños (porque ya sólo quedan cuatro asientos libres) con todos los niños de la clase excepto el delegado, es decir, 29 niños.

Se verifica que en cada grupo:

 No entran todos los elementos.

 Sí importa el orden.

 No se repiten los elementos.

El número de variaciones sin repetición de 29 elementos tomados de cuatro en cuatro es: