Una variación con repetición son las distintas formas en que se puede hacer una selección de elementos de un conjunto dado, permitiendo que las selecciones puedan repetirse.

 

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Vamos

Características de la variación con repetición

 

  • Tiene un total de m elementos y por otro lado se forma a un grupo de n posiciones.
  • Ahora en cada posición se puede colocar a cualquiera de los m elementos, significa que dos o más posiciones se pueden repetir al mismo elemento.
  • Cada grupo formado es diferente de otro si difiere algún elemento en alguna posición. Por ejemplo, el grupo de 3 posiciones 831 difiere de otro grupo de 3 posiciones 821, ya que en la segunda posición de cada uno de ellos, existen elementos distintos, 3 es distinto de 2.
  • El grupo de 4 posiciones, por ejemplo 4523, es distinto al grupo 4253, ya que el orden de colocación es distinto a pesar de que se trate de los mismos elementos.

 

Es decir, cuando se forman grupos con estas características

 

  • importa el orden.
  • se repiten los elementos

 

El total de grupos de tamaño n que se pueden formar teniendo m elementos permitiendo la repetición, se calcula con la fórmula:

 

 

también se puede escribir como:

 

Ejemplos de variaciónes con repeticiónes

 

1 ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

Aquí logramos ver que hay cinco elementos m = 5 colocados en tres posiciones n = 3 aplicando la fórmula obtenemos que:

 

 

Por lo tanto, se pueden formar 125 números de tres cifras con los dígitos indicados. Observa que sí importa el orden, ya que por ejemplo 123 es distinto al 132, y además es posible la repetición ya que el número 223 es uno de los 125 posibles de construir.

 

2 ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Queremos formar a números de tres cifras, sin embargo la primer cifra no puede comenzar con cero, ya que un cero a la izquierda no genera diferencia (01 es igual a 1), por tal razón en la primer cifra solamente podemos colocar del 1 al 5, así que m=5 y n=1.

Por otro lado en las siguientes dos cifras del número si podemos colocar del 0 al 5, entonces m=6 y n=2

Finalmente, al calcular las variaciones por cada caso y multiplicarlas entre si, encontramos la solución

 

 

3 Si un cuestionario tiene 15 preguntas y cada pregunta tiene tres opciones de respuesta, ¿cuántas formas distintas posibles existen de resolver el cuestionario?

Los valores de m = 3 y    n = 15, llegando a que el total de combinaciones posibles de resolver el cuestionario son:

 

Por lo tanto, existen 14 348 907  formas distintas de resolver el cuestionario.

 

En conclusión , existen distintos problemas donde es necesario calcular el total de combinaciones que pueden presentarse, y en ocasiones la forma de calcularla puede ser muy complicada, debido a esto, se generan herramientas de conteo como las variaciones con repetición entre otras.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗