¿Qué son las variaciones ordinarias?

 

Se llama variaciones ordinarias de elementos tomados de en  a los distintos grupos formados por elementos en donde:

 

  • Importa el orden.
  • No se repiten los elementos.

 

Las variaciones se denotan por

 

 

y la fórmula para calcularlas está dada por

 

 

Podemos pensar las variaciones ordinarias como tener un conjunto con objetos, tomar de este todos los subconjuntos de objetos y después ordenarlos de todas las maneras posibles cada subconjunto.

 

Ejemplos:

 

    • Calcular las variaciones ordinarias dadas por

      Tenemos que para este caso , y, por lo tanto, .
      Así

       

 

  • Calcular las variaciones ordinarias dadas por

    Tenemos que para este caso , y, por lo tanto, .
    Así

     

     

También podemos calcular las variaciones por medio de factoriales:

 

 

Resolviendos los ejemplos anteriores con factoriales tenemos para el primer caso

 

 

y para el segundo caso

 

 

Observación: si , entonces estamos tratando con permutaciones (ordenamientos).

 

Ejemplos de cálculo de variaciones

 

1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

 

Tenemos que en este caso , y , por lo tanto

 

 

Ahora hagamos el cálculo por medio de factoriales

 

 

2.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

 

Notemos que, por la descripción del ejemplo, se cumplen las características de variaciones ordinarias:

 

    • Sí importa el orden. Son números distintos  .

 

    • No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes

 

Además, para este ejemplo, tenemos que , y , por lo tanto

 

 

Ahora, si hacemos el cálculo por medio de factoriales

 

 

3.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: ?

 

Tenemos que separar el número en dos bloques:

 

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos () porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares, los cuales no consideramos), por lo tanto, en este bloque tenemos y . Así, calculamos

 

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito del al menos el inicial(el que hayamos ocupado el primer bloque), así, para este bloque, y . Por lo tanto, calculamos

 

 

Así, nuestro resultado final sería la multiplicación de nuestros bloques:

 

 

4. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?

 

Notemos que, por la descripción del ejemplo, se cumplen las características de variaciones ordinarias. Además, para este ejemplo, tenemos que , y , por lo tanto

 

 

Ahora, si hacemos el cálculo por medio de factoriales

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗