¿Qué son las variaciones ordinarias?
Se llama variaciones ordinarias de elementos tomados de en a los distintos grupos formados por elementos en donde:
- Importa el orden.
- No se repiten los elementos.
Las variaciones se denotan por
y la fórmula para calcularlas está dada por
Podemos pensar las variaciones ordinarias como tener un conjunto con objetos, tomar de este todos los subconjuntos de objetos y después ordenarlos de todas las maneras posibles cada subconjunto.
-
- Calcular las variaciones ordinarias dadas por
Tenemos que para este caso , y, por lo tanto, .
Así
- Calcular las variaciones ordinarias dadas por
- Calcular las variaciones ordinarias dadas por
Tenemos que para este caso , y, por lo tanto, .
Así
También podemos calcular las variaciones por medio de factoriales:
Resolviendos los ejemplos anteriores con factoriales tenemos para el primer caso
y para el segundo caso
Observación: si , entonces estamos tratando con permutaciones (ordenamientos).
Ejemplos de cálculo de variaciones
1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.
Tenemos que en este caso , y , por lo tanto
Ahora hagamos el cálculo por medio de factoriales
2.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
Notemos que, por la descripción del ejemplo, se cumplen las características de variaciones ordinarias:
-
- Sí importa el orden. Son números distintos .
-
- No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes
Además, para este ejemplo, tenemos que , y , por lo tanto
Ahora, si hacemos el cálculo por medio de factoriales
3.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: ?
Tenemos que separar el número en dos bloques:
El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos () porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares, los cuales no consideramos), por lo tanto, en este bloque tenemos y . Así, calculamos
El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito del al menos el inicial(el que hayamos ocupado el primer bloque), así, para este bloque, y . Por lo tanto, calculamos
Así, nuestro resultado final sería la multiplicación de nuestros bloques:
4. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?
Notemos que, por la descripción del ejemplo, se cumplen las características de variaciones ordinarias. Además, para este ejemplo, tenemos que , y , por lo tanto
Ahora, si hacemos el cálculo por medio de factoriales
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