Integrales racionales

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

integral de la división

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:

Caso 1: Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:

igualdad

Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

Ejemplo

integral

división

descomposición

fracciones

Se efectúa la suma:

igualdad

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

igualdad

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.

B

A

solución

Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múltiples

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:

igualdad

Ejemplo

integral

descomposición del denominador

fracciones

igualdad

Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más.

C

A

B

integral

solución

Caso 3: Integrales racionales con raíces complejas simples

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:

igualdad

Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de tipo arcotangente.

Ejemplo

integral

fracciones

igualar

Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:

operaciones

coeficiente

coeficiente

coeficiente

integral

solución


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