En este artículo tenemos varios problemas en los cuales se involucra la integral, aún cuando estos nos piden directamente "integrar" una función. En la mayoría de los casos se mencionará el término de primitiva, en caso de no tener claro este término, te invitamos a leer nuestros artículos relacionados, de igual forma en los primeros ejercicios se mencionará rápidamente la idea de lo que es una primitiva.
1 De las infinitas funciones primitivas de la función , ¿cuál toma el valor cuando es evaluada en ?
Primero recordemos que la primitiva de una función es una función la cual cumple que , Dicho esto, encontremos la forma general de las primitivas de la función . Las primitivas las encontramos usando integrales no definidas:
Por lo tanto, tenemos que . Sin embargo, nos pide encontrar la primitiva que cumpla que . Esto lo hacemos al evaluar la primitiva general y encontrar el valor exacto de que haga que se cumpla dicha igualdad. Así, tenemos que
Hemos encontrado nuestro valor de , así, la primitiva que buscamos es
2 Obten la primitiva de la función que pasa por el punto .
Obtengamos la forma general de las primitivas por medio de la integral con límites no definidos, esto es
Por lo tanto, tenemos que . Sin embargo, nos pide encontrar la primitiva que pase por el punto , esto es, que cumpla que . Esto lo hacemos al evaluar la primitiva general y encontrar el valor exacto de que haga que se cumpla dicha igualdad. Así, tenemos que
Hemos encontrado nuestro valor de , así, la primitiva que buscamos es
3 Hallar una función que al ser evaluada en toma el valor de y cuya derivada sea .
Notemos que el problemas nos dice que es una primitiva de , por lo tanto, para encontrar primero debemos encontrar las primitivas de , esto lo logramos integrando
Ahora, debe cumplir que . Evaluemos y encontremos para que se cumple dicha igualdad
Así, nuestra función buscada es
4 Hallar una recta cuya pendiente es y pasa por él punto .
Aunque este problema se puede resolver directamente usando la fórmula general de la recta, aquí haremos uso de la integral. Primero, la derivada de toda recta es su pendiente, es constante, así, si tenemos la recta
su derivada será su pendiente . Dicho esto, tenemos en nuestro problema que la pendiente de la recta es , esto es, su derivada es , así que procedamos obteniendo las primitivas de esta constante
entonces, todas las rectas con pendiente igual a tienen la forma ; sin embargo, esta recta debe pasar por el punto , por lo tanto
así, la recta que buscamos está dada por
5 Hallar la primitiva de la función
que se anula para .
Para resolver este problema debemos encontrar las primitivas de primero. Encontraremos las primitivas a través de la integral, integraremos por el método de sustitución, tomaremos
Sustituyendo tenemos
Ahora, tenemos que la curva se anula en , esto significa que cuando se valúa en toma el valor de , por lo tanto, , encontremos el valor de para el cual se cumple esto
Así, finalmente, nuestra curva es
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
en el ejercicio 26 el resultado no se ve bien, como quedaria?
Disculpa pero no hay ejercicio 26, solo llega al 20.
estan la mitad de los ejercicios incorrectos, revisarlos por favor
Podrías indicarnos que ejercicios están mal, pues ya revise y no encontre los errores.
En el ejercicio 13 que es la integral de x^2 * ln(x^2), al hacerlo por partes hace bien lo de coger como u=ln(x^2), pero al coger x^2 como v’ se equivoca y lo coge como x^3
Una disculpa ya se corrigió.
En la pagina no deja ver las respuestas, me parece que es un error de vosotros a ver si lo podeis arreglar, mil gracias
Hola, Pancracio:
Las soluciones ya aparecen correctamente 🙂
Un saludo
Estudio carrera de ingeniería pero me cuesta mucho las matemáticas ¿ algún consejo? O tips