Volumen de una función

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

volumen

Ejemplos

1. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.

representación gráfica

solución

2. Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al girar alrededor del eje OX.

función seno

integral

solución

3. Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + cos x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = π.

volumen

solución

4. Hallar el volumen engendrado por el círculo x2 + y2 − 4x = −3 al girar alrededor del eje OX.

ecuación de la conferencia

ecuación de la circunferencia

El centro de la circunferencia es C(0, 1) y el radio r = 1.

Puntos de corte con el eje OX:

puntos de corte

representación gráfica

volumen

solución

5. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x − x2, y = −x + 2.

Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

puntos de corte

representación gráfica

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

integral definida

solución

6. Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x − x2, y = x.

Puntos de intersección:

puntos de corte

representación gráfica

La parábola queda por encima de la recta en el intervalo de integración.

volumen

7. Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0) al girar 360° alrededor del eje OX.

Ecuación de la recta que pasa por AB:

ecuación de la recta

Ecuación de la recta que pasa por BC:

ecuación de la recta

representación gráfica

volumen

operaciones

solución

solución

8. Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse ecuación de la elipse alrededor del eje OX.

elipse

ecuación del elipse

Por ser la elipse una curva simétrica, el volumen pedido es 2 en veces el volumen engendrado por el arco arco de elipse entre x = 0 y x = a.

volumen

solución


 

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