1 Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas y dadas, al girar en torno al eje :
 
 
y que en este intervalo el coseno tiene área negativa
 
 
Usando la identidad trigonométrica
 
 
haciendo el cambio de variable
 
para la segunda integral y aplicando las integrales inmediatas
 
2 Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y , y el eje al girar alrededor de este eje.
 
3 Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta y las coordenadas correspondientes a y , al girar alrededor de .
 
 
 
 
 
4 Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje el recinto limitado por las gráficas de .
Comenzamos por encontrar los puntos de intersección entre la parábola y la recta:
Igualamos las funciones y encontramos el valor de x
Sustituyendo los valores de x para encontrar los de y en cualquiera de las dos ecuaciones, y obtener los puntos de intersección,
La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración, entonces al sustituir los valores en la fórmula del volumen, tenemos:
5 Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y la recta , alrededor del eje .
Como gira alrededor del eje , aplicamos:
El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos e .
Como la parábola es simétrica con respecto al eje , el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre e .
6 Calcular el volumen de la esfera de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia .
Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.
Entonces sustituimos los valores en la fórmula del volumen.
7 Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse , al girar:
a Alrededor de su eje mayor.
b Alrededor de su eje menor.
a Alrededor de su eje mayor.
Como la elipse es simétrica respecto de los dos ejes, el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.
Despejamos el valor de y encontrar los limites de integración.
Y ahora sustituimos en la fórmula del volumen
b Alrededor de su eje menor.
Despejamos el valor de y encontrar los limites de integración.
Y ahora sustituimos en la fórmula del volumen
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
en el ejercicio 26 el resultado no se ve bien, como quedaria?
Disculpa pero no hay ejercicio 26, solo llega al 20.
estan la mitad de los ejercicios incorrectos, revisarlos por favor
Podrías indicarnos que ejercicios están mal, pues ya revise y no encontre los errores.
En el ejercicio 13 que es la integral de x^2 * ln(x^2), al hacerlo por partes hace bien lo de coger como u=ln(x^2), pero al coger x^2 como v’ se equivoca y lo coge como x^3
Una disculpa ya se corrigió.
En la pagina no deja ver las respuestas, me parece que es un error de vosotros a ver si lo podeis arreglar, mil gracias
Hola, Pancracio:
Las soluciones ya aparecen correctamente 🙂
Un saludo
Estudio carrera de ingeniería pero me cuesta mucho las matemáticas ¿ algún consejo? O tips