Ejercicios de áreas de funciones
1 Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
2 Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
3 Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
4 Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
5 Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
6 Calcular el área del círculo de radio r.
7 Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
8 Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
9 Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.
10 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 + 4x.
11 Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x, y = −x2 + 4x.
12 Hallar el área de de la región limitada por las funciones:
y = sen x, y = cos x, x = 0.
Ejercicios y problemas resueltos de áreas de funciones
1
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.
En segudo lugar se calcula la integral:
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2
Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
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3
Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
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4
Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
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5
1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
El área, por razones de simetría, se puede escribir:
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6
2. Calcular el área del círculo de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.
Hallamos los nuevos límites de integración.
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Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
Hallamos los nuevos límites de integración.
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Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
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Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.
De x = 0 a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.
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10
Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y = x2 e y = −x2 + 4x.
En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.
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11
Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x, y = −x2 + 4x.
Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
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5.Hallar el área de de la región limitada por las funciones:
y = sen x, y = cos x, x = 0.
En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:
La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.
