Te damos la bienvenida a nuestra sección dedicada a los Ejercicios de Áreas de Funciones. Las funciones matemáticas son herramientas poderosas para describir y modelar fenómenos en diversas disciplinas. En esta guía, te guiaremos a través de ejercicios diseñados para comprender y calcular áreas bajo curvas representadas por funciones.

La determinación del área bajo una curva de función implica aplicar conceptos de cálculo integral. Estos ejercicios no solo fortalecerán tu comprensión de las funciones matemáticas, sino que también te proporcionarán herramientas prácticas para resolver problemas del mundo real que involucren el cálculo de áreas. Acompáñanos en este emocionante viaje matemático donde aplicaremos conceptos avanzados para abordar desafíos relacionados con funciones y sus áreas.

Ejercicios propuestos

1 Calcular el área del recinto limitado por la curva y el eje .

 

Calcular el área del recinto limitado por la curva y el eje .

 

1 En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje para representar la curva y conocer los límites de integración.

 

 

representación gráfica del área debajo de una parabola

 

2 En segundo lugar se calcula la integral:

 

 

2 Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva entre el punto de corte con el eje y el punto de abscisa .

 

Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva entre el punto de corte con el eje y el punto de abscisa .

 

1 En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

 

 

representación gráfica del área debajo de una funcion logaritmica

 

 

 

2 La integral se resuelve mediante integración por partes

 

 

 

 

 

3 Hallar el área limitada por la recta , el eje y las ordenadas de y .

 

Hallar el área limitada por la recta , el eje y las ordenadas de y .

 

representación gráfica del área debajo de una recta

 

 

4 Calcular el área limitada por la curva y el eje de abscisas.

 

Calcular el área limitada por la curva y el eje de abscisas.

 

1 Calculamos los cruces de la función con el eje de las abscisas

 

 

representación gráfica del área debajo de una funcino polinomial

 

2 Planteamos y resolvemos la integral definida

 

 

5 Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva y el eje .

 

Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x³ − 6x² + 8x y el eje OX.

 

1 Calculamos los cruces de la función con el eje de las abscisas

 

 

 

representación gráfica del área entre una funcion polinomial y el eje x

2 Planteamos una integral definida

 

 

El área sobre el eje es igual al área en valor absoluto del área bajo el eje (en el intervalo dado), por tanto se puede escribir:

 

3 Resolvemos las integrales

 

 

6 Calcular el área del círculo de radio .

 

Calcular el área del círculo de radio .

1 Partimos de la ecuación de la circunferencia y despejamos la

 

 

representación gráfica del área de un circulo en el plano cartesiano

 

2 El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante, por lo que

 

 

3 Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.

 

 

 

 

 

 

4 Hallamos los nuevos límites de integración y sustituimos

 

[

 

 

 

7 Hallar el área de una elipse de semiejes y .

 

representación gráfica del área de una elipse en el plano cartesiano

 

1 Partimos de la ecuación de la elipse

 

 

2 Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

 

 

 

3 Resolvemos la integral aplicando un cambio de variable

 

 

 

 

 

4 Hallamos los nuevos límites de integración y sustituimos

 

 

 

8 Calcular el área limitada por la curva y la recta .

 

Calcular el área limitada por la curva y la recta .

 

1 En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

 

 

representación gráfica del área entre una recta y una parabola

 

2 De a , la recta queda por encima de la parábola, por lo que

 

 

 

9 Calcular el área limitada por la parábola y la recta .

 

Calcular el área limitada por la parábola y la recta .

1 Calculamos los puntos de intersección de las funciones

 

 

representación gráfica del área entre una parabola y una recta

 

2 De a , la parábola queda por encima de la recta, por lo que

 

 

10 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones e .

 

Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones e .

 

1 En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

 

 

 

 

 

 

2 Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.

 

 

representación gráfica del área entre dos parabolas

 

 

 

11 Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas , .

 

Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas , .

 

1 Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

 

 

 

 

 

 

representación gráfica del área limitada entre dos parabolas

 

2 Consideramos las áreas que quedan sobre y debajo del eje de las abscisas para poder calcular el área total

 

 

 

 

 

12 Encuentra el área entre la curva y la curva en el intervalo .

 

1

Primero analizamos los puntos de intersección de dichas curvas. Notemos que en los puntos , tenemos

Entonces, la función siempre es mayor o igual a en el intervalo propuesto.

2

Ahora, calculamos la integral de en el intervalo para encontrar el área:

grafica de area entre las curvas e+1-x y exp(x) en rojo

 

13 Encuentra el área entre la curva y la curva en el intervalo .

 

1

Primero analizamos los puntos de intersección de dichas curvas. Notemos que en los puntos , tenemos

2

Ahora, calculamos la integral de en el intervalo para encontrar el área:

grafica de area entre las curvas 2x y ln(x) en rojo

 

14 Encuentra el área entre la curva y la curva en el intervalo .

 

1

Primero analizamos los puntos de intersección de dichas curvas. Notemos que en los puntos , tenemos

De manera simple, tenemos que para todo . En particular, . Entonces, para calcular el área, debemos separar la integral en este punto, donde se encuentra el cambio de la función dominante (la que tiene el valor más grande).

2

Como notamos anteriormente, en el intervalo , pero luego en el intervalo . Por lo tanto, el área entre las curvas es

grafica de area entre las curvas exp(-x) y exp(x) en rojo

 

15 Encuentra el área entre la curva y la curva en el intervalo .

 

1

Primero analizamos los puntos de intersección de dichas curvas. Notemos que en los puntos , tenemos

Notemos que en tenemos .

2

Entonces, el área bajo la curva es la integral de en el intervalo más la integral de en el intervalo :

grafica de area entre las curvas sin(x) y cos(x) en rojo

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗