Ejercicios de áreas de funciones

Resolver

1Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.

2Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.

3Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

4Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.

5Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

6Calcular el área del círculo de radio r.

7Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.

8Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.

9Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.

10Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 + 4x.

11Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x, y = −x2 + 4x.

12Hallar el área de de la región limitada por las funciones:

y = sen x, y = cos x, x = 0.

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Ejercicio 1 resuelto

Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

puntos de corte con los ejes

representación gráfica

En segudo lugar se calcula la integral:

área

Ejercicio 2 resuelto

Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.

representación gráfica

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

punto de corte

integral

derivar

integrar

integral de indefinida

solución

Ejercicio 3 resuelto

Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

de presentación de la recta

área de la recta

Ejercicio 4 resuelto

Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.

ecuación

representación gráfica

área

Ejercicio 5 resuelto

1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

ecuación

puntos de corte

representación gráfica

área

El área, por razones de simetría, se puede escribir:

solución

Ejercicio 6 resuelto

2. Calcular el área del círculo de radio r.

Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².

se conferencia

El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.

integral definida

Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.

integral indefinida

cambio de variable

cabe de variable

integral

operaciones

Hallamos los nuevos límites de integración.

carne variable

cambie variable

área

área del círculo

Ejercicio 7 resuelto

elipse

ecuación del elipse

Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

área

integral indefinida

cambio de variable

cabe de variable

integral

operaciones

Hallamos los nuevos límites de integración.

carne variable

cambie variable

área del elipse

Ejercicio 8 resuelto

Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

sistema de ecuaciones

representación gráfica

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

integral

solución

Ejercicio 9 resuelto

Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.

puntos de corte

gráfica

De x = 0 a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.

solución

Ejercicio 10 resuelto

Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y = x2 e y = −x2 + 4x.

En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

función cuadrática

vértice

función cuadrática

vértice

puntos de corte con los ejes

Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.

sistema de ecuaciones

representación gráfica

integral

solución

Ejercicio 11 resuelto

Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x, y = −x2 + 4x.

Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

vértice

ecuación

vértice

. Este corte con los ejes

puntos de corte

representación gráfica

área

área

área

área total

Ejercicio 12 resuelto

5.Hallar el área de de la región limitada por las funciones:

y = sen x, y = cos x, x = 0.

En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:

punto de corte

representación gráfica

La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.

área

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