Área de funciones

Caso 1

Área entre una función positiva y el eje de abscisas

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

integral definida

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

ecuación

parábola

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

área de la curva

2. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

la gráfica·

solución

3. Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

Ecuación de la recta que pasa por AB:

ecuación de la recta

Ecuación de la recta que pasa por BC:

ecuación de la recta

representación gráfica

integrales

operaciones

solución

 Caso 2:  Área entre una función negativa y el eje de abscisas

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

integral definida

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

puntos de corte con los ejes

representa gráfica

integral

solución

2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.

función coseno

integral

solución

 Caso 3: La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:

Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.

El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos

1. Hallar el área limitada por la recta ecuación de la recta, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

representación gráfica

integral

integral

solución

2. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.

circunferencia de radio 3

El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

integral indefinida

cambio de variable

cabe de variable

integral

operaciones

Hallamos los nuevos límites de integración.

carne variable

cambie variable

área

área del círculo