Resumen de vectores de un plano

Vectores

Un vector fijo vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Vector nulo:

Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

Módulo del vector:

vector

Es la longitud del segmento AB, se representa por módulo

Dirección y sentido del vector:

vector

Dirección de un vector:vector

Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido del vector: vector

El que va del origen A al extremo B.

Vectores equipolentes y libres

Vectores equipolentes:

vectores

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

Vectores libres

vectores

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

Vectores en un plano

1 Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas

vectores

El vector vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

2 Coordenadas o componentes de un vector en el plano

vectores

Si las coordenadas de A y B son:

puntopunto

Las coordenadas o componentes del vector vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

vector

Módulo de un vector y vector unitario

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

1 Cálculo del módulo conociendo sus componentes

módulo
módulo

2 Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

vectores
vectores
vectores

Vectores unitarios

Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

vector unitario

Suma y resta de vectores

1 Suma de vectores

suma

Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

SUMA

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

suma

suma

2 Resta de vectores

resta

Para restar dos vectores libres vector y vector se suma vector con el opuesto de vector.

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

resta

resta

Producto de un número por un vector

El producto de un número k por un vector vector es otro vector:

1 De igual dirección que el vector vector.

2 Del mismo sentido que el vector vector si k es positivo.

3 De sentido contrario del vector vector si k es negativo.

4 De módulo proiducto

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Producto

Producto

Puntos en los vectores

1 Coordenadas del punto medio de un segmento

vector

Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.

igualdad

2 Condición para qué tres puntos estén alineados

vector

Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores vectores tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

igualdad

3 Simétrico de un punto respecto de otro

vector

Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:

igualdad

Coordenadas del baricentro

vector

Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.

Las coordenadas del baricentro son:

coordenadas

División de un segmento en una relación dada

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

razón


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