• Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
  • Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.
  • El módulo del vector es la longitud del segmento .
  • El módulo se representa por .
  • La direcccíon del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
  • El sentido del vector es el que va desde el origen al extremo .

 

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Vamos

Clasificación de los vectores

 

1 Vectores equipolentes:

representación gráfica de vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

 

2Vectores libres:

 

representación gráfica de vectores libres

 

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

 

 

Coordenadas de un Vector

 

 

1 Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas

 

El vector que une el origen de coordenadas con un punto se llama vector de posición del punto .

 

 

2Coordenadas o componentes de un vector en el plano

 

Si las coordenadas de y son:

 

 

Las coordenadas o componentes del vector  son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

 

 

Módulo de un vector

 

 

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

 

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

 

 

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

 

 

 

 

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

 

 

 

representación gráfica de cálculo de módulo vectores

 

 

Distancia entre dos puntos

 

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

 

 

Módulo la unidad

 

 

Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

 

Suma de vectores

 

representación gráfica de suma de vectores libres

 

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

 

representación gráfica de suma de vectores

 

Regla del paralelogramo

 

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

 

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

 

 

 

 

Resta de vectores

 

representación gráfica de resta de vectores

 

Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .

 

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

 

 

 

Producto de un número por un vector

 

El producto de un número por un vector  es otro vector:

 

1 De igual dirección que el vector .

 

2 Del mismo sentido que el vector  si   es positivo.

 

3 De sentido contrario del vector  si   es negativo.

 

4 De módulo

 

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por   las componentes del vector.

 

 

Combinación lineal de vectores

 

Dados dos vectores: y , y dos números: y , el vector  se dice que es una combinación lineal de y .

 

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

 

 

Esta combinación lineal es única.

 

 

representación gráfica de combinación lineal

 

 

Sistema de referencia

 

 

representación gráfica de un sistema de referencia de vectores u y v

 

En el plano, un sistema de referencia está constituido por un punto del plano y una base ( , ).

 

El punto del sistema de referencia se llama origen.

 

Los vectores ,  no paralelos forman la base.

 

 

Bases

 

1Ortogonal

Los vectores base son perpendiculares, pero de distinto módulo.

 

2 Ortonormal

representación gráfica de base ortonormal

 

Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios, es decir, de módulo .

 

Se representan por las letras .

 

.

 

.

Las rectas ,   se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenados cartesianos.

 

Coordenadas del punto medio de un segmento

 

representación gráfica de las coordenadas del punto medio de un segmento

 

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.

 

 

Condición para qué tres puntos estén alineados

 

 

representación gráfica de tres puntos alineados

 

 

Los puntos  ,  y están alineados siempre que los vectores y  tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

 

 

Simétrico de un punto respecto de otro

 

 

grafica de simetria entre 2 puntos

 

 

Si es el simétrico de respecto de , entonces   es el punto medio del segmento . Por lo que se verificará igualdad:

 

 

Coordenadas del baricentro

 

gráfica de las coordenadas del barricentro

 

Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.

 

Las coordenadas del baricentro son:

 

 

 

 

División de un segmento en una relación dada

 

Dividir un segmento en una relación dada es determinar un punto de la recta que contiene al segmento , de modo que las dos partes, y , están en la relación :

 

 

Producto escalar

 

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

 

 

1Expresión analítica del producto escalar

 

 

2Expresión analítica del módulo de un vector

 

 

 

3 Expresión analítica del ángulo de dos vectores

 

 

4 Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

 

 

Proyección

 

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

 

representación gráfica de la proyecction de un vector

 

 

 

 

Propiedades del producto escalar

 

1 Conmutativa

 

2 Asociativa

 

3 Distributiva

 

4 El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗