Resumen de vectores y producto escalar

Vectores y elementos

Un vector fijo vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

El módulo del vector vector es la longitud del segmento AB, se representa por módulo.

Dirección de un vector: La direcccíon del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido de un vector: El sentido del vector vector es el que va desde el origen A al extremo B.

Clasificación de los vectores

1 Vectores equipolentes:

vectores

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

2 Vectores libres:

vectores

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

Coordenadas de un Vector

1 Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas

El vector vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

2 Coordenadas o componentes de un vector en el plano

Si las coordenadas de A y B son:

puntopunto

Las coordenadas o componentes del vector vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

vector

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

1 Cálculo del módulo conociendo sus componentes

módulo
módulo

2 Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

vectores
vectores
vectores

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

distancia
distancia

Distancia entre dos puntos

vector unitario

Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

Operaciones de vectores

1 Suma de vectores

suma

Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

SUMA

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

suma

suma

2 Resta de vectores

resta

Para restar dos vectores libres vector y vector se suma vector con el opuesto de vector.

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

resta

resta

3 Producto de un número por un vector

El producto de un número k por un vector vector es otro vector:

1 De igual dirección que el vector vector.

2 Del mismo sentido que el vector vector si k es positivo.

3 De sentido contrario del vector vector si k es negativo.

4 De módulo proiducto

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Producto

Producto

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores: vector y vector, y dos números: a y b, el vector vector se dice que es una combinación lineal de vector y vector.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

vector

Esta combinación lineal es única.

Base

producto

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

vector

Esta combinación lineal es única.

Sistema de referencia

vector

En el plano, un sistema de referencia está constituido por un punto O del plano y una base (vector , vector).

El punto O del sistema de referencia se llama origen.

Los vectores vector , vector no paralelos forman la base.

1 Ortogonal

Los vectores base son perpendiculares, pero de distinto módulo.

2 Ortonormal

vector

Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios, es decir, de módulo 1.

Se representan por las letras vectores.

vectores

vectores

Las rectas OX, OY se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenados cartesianos.

Coordenadas del punto medio de un segmento

vector

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.

igualdad

Condición para qué tres puntos estén alineados

vector

Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores vectores tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

igualdad

Simétrico de un punto respecto de otro

vector

Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:

igualdad

Coordenadas del baricentro

vector

Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.

Las coordenadas del baricentro son:

coordenadas

División de un segmento en una relación dada

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

razón

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

producto

1 Expresión analítica del producto escalar

producto

2 Expresión analítica del módulo de un vector

producto

producto

3 Expresión analítica del ángulo de dos vectores

producto

4 Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

producto

Proyección

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

vector

PROYECCIÓN

PROYECCIÓN

Propiedades del producto escalar

1 Conmutativa

propiedad

2 Asociativa

propiedad

3 Distributiva

propiedad

4 El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

propiedad


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