Vectores. Producto escalar. Ejercicios

1Si M₁(2, 1), M₂(3, 3) y M₃(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

2Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6), C(1, -3) y D(-4, 2) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).

3Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

4Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y = (8. -8).

5Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:

1 90°

2 0°

3 45°

6Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

7Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

8Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

9Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector = (−1. −1).

10Calcular el valor de a para que los vectores = 3 + 4 formen un ángulo de 45°.

 

Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos

1

Si M₁(2, 1), M₂(3, 3) y M₃(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

x₁ = 7 x₅ = 7 x₃ = −1

y₁ = 4 y₅ = 0 y₃ = 3

A(7, 4)B(5, 0) C(−1, 2)

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2

Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).

Si O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales

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3

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Si:

Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos

4

Normalizar los siguientes vectores: = (1, ), = (-4, 3) y = (8. -8).

Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos

5

Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:

1 90°

2 0°

3 45°

Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos

6

Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos

7

Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos

8

Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos

9

Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector = (−1. −1).

(−1. −1) = a (1, 4) + b (1, 3)

−1 = a +b a = −1 −b a= 2

−1 = 4a +3b −1 = 4( −1 −b) +3b b = −3

= 2 − 3

Vectores. Producto escalar. Ejercicios resueltos

10

Calcular el valor de a para que los vectores = 3 + 4 formen un ángulo de 45°.