Ejercicios de vectores II

1 Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

2 Probar que los puntos: A(1, 7), B(4, 6), C(1, −3) y D(−4, 2) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).

3 Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, −3), B(3, 0) y C(0, 1).

4 Normalizar los siguientes vectores: u = (1, raíz de dos), v = (−4, 3) y w = (8, −8).

5 Hallar k si el ángulo que forma vector= (3, k) con vector= (2, −1) vale:

1 90°

2

3 45°

6 Calcula la proyección del vector vector sobre el vector, siendo A(6, 0), B(3, 5), C(−1, −1).

7 Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3, 5), B(−2, 0), C(0, −3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

8 Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6, 0), B(3, 5), C(−1, −1).

9 Dados los vectores u = (1, 4), v = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector w = (−1, −1).

10 Calcular el valor de a para que los vectores u = 3 i + 4 j y u = a i − 2 j formen un ángulo de 45°.

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Ejercicio 1 resuelto

Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

triángulosistemas

x1 = 7 x5 = 7 x3 = −1

y1 = 4 y5 = 0 y3 = 3

A(7, 4)B(5, 0) C(−1, 2)

Ejercicio 2 resuelto

Probar que los puntos: A(1, 7), B(4, 6), C(1, −3) y D(−4, 2) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).

distancia

distancia

distancia

distancia

Ejercicio 3 resuelto

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, −3), B(3, 0) y C(0, 1).

distancia

distancia

distancia

distancia

Si:

distancia

distancia

distancia

distancia

triángulo

Ejercicio 4 resuelto

Normalizar los siguientes vectores: u = (1, raíz de dos), v = (−4, 3) y w = (8, −8).

normal

normal

normal

Ejercicio 5 resuelto

Hallar k si el ángulo que forma vector= (3, k) con vector= (2, −1) vale:

1 90°

solución

solución

2

solución

solución

3 45°

solución

solución

solución

Ejercicio 6 resuelto

Calcula la proyección del vector vector sobre el vector, siendo A(6, 0), B(3, 5), C(−1, −1).

dibujo

solución

solución

solución

Ejercicio 7 resuelto

Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3, 5), B(−2, 0), C(0, −3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

dibujo

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

Ejercicio 8 resuelto

Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6, 0), B(3, 5), C(−1, −1).

dibujo

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

Ejercicio 9 resuelto

Dados los vectores u = (1, 4), v = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector w = (−1, −1).

(−1, −1) = a (1, 4) + b (1, 3)

−1 = a + b a = −1 − b a = 2

−1 = 4a +3b −1 = 4(−1 − b) + 3b b = −3

w = 2u −3v

Ejercicio 10 resuelto

Calcular el valor de a para que los vectores u = 3 i + 4 j y u = a i −2 j formen un ángulo de 45°.

operaciones

operaciones

operaciones

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