¡Bienvenido a los emocionantes ejercicios de vectores y producto escalar! Los vectores son herramientas fundamentales en el campo de las matemáticas y la física, utilizados para representar magnitudes direccionales en el plano y el espacio. Son especialmente útiles cuando queremos describir movimientos, fuerzas, velocidades y muchas otras cantidades físicas.
En estos ejercicios, explorarás la manipulación de vectores y aprenderás a realizar operaciones clave, como la suma y resta de vectores. También te adentrarás en el emocionante mundo del producto escalar, una operación que combina magnitudes y direcciones de dos vectores para obtener un valor numérico.
A través de desafiantes problemas prácticos, pondrás a prueba tus habilidades y descubrirás cómo estas herramientas matemáticas son aplicables en diversas disciplinas, como ingeniería, física, informática, gráficos computacionales y más. Así que prepárate para desarrollar tus destrezas en manipulación vectorial y potenciar tu capacidad para resolver problemas complejos.
1Hallar el simétrico del punto 
respecto de 
.
1 Calculamos el punto simétrico 
, para lo cual se emplea 
2 Igualamos las coordenadas y despejamos las variables 
Para la primera coordenada
Para la segunda coordenada
3 El simétrico 
tiene coordenadas
2Dados dos vértices de un triángulo 
y el baricentro 
, calcular el tercer vértice.
1 La fórmula para el baricentro de un triángulo con vértices 
es
2 Calculamos el baricentro con el tercer vértice 
para lo cual sustituimos en la fórmula anterior
3 Igualamos las coordenadas y resolvemos para las variables
Para la primera coordenada
Para la segunda coordenada
4 El tercer vértice es
3Dados los puntos 
y 
halla un punto 
, alineado con 
y 
, de manera que se obtenga 
1 Como , sustituimos los valores de 
y 
y obtenemos
2 Igualamos las coordenadas y resolvemos para las variables
Para la primera coordenada
Para la segunda coordenada
3 El punto buscado es 
4Calcula las coordenadas de 
para que el cuadrilátero de vértices: 
y sea un paralelogramo.
1 Para encontrar las coordenadas 
utlizamos el hecho de que al ser los lados opuestos del paralelogramo iguales, entonces sus vectores también lo son
2 Sustituimos los datos y obtenemos
3 Igualamos las coordenadas y resolvemos para las variables
Para la primera coordenada
Para la segunda coordenada
4 El vértice buscado es 
5Si 
forman una base ortonormal, calcular:
a 
b
c
d 
1 Como 
son ortonormales, entonces son perpendiculares entre si, por lo que forman un ángulo de 
y su magnitud es 1, esto es, 
2 Para encontrar los productos solicitados utilizamos la fórmula
con 
igual al ángulo entre 
y 
3 Encontramos los productos solicitados sutituyendo en la fórmula y empleando el valor adecuado de 
si es el vector es el mismo y si son distintos
a 
b 
c 
d 
6Dados los vectores 
, calcula 
para que los vectores 
sean:
a Perpendiculares.
b Paralelos.
c Formen un ángulo de 
.
a Perpendiculares: Dos vectores son perpendiculares si su producto es cero
Realizamos el producto y despejamos la variable 
b Paralelos: Dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales, esto es,
Realizamos la igualdad de proporciones y despejamos la variable
c Formen un ángulo de : Sustituimos los valores en la fórmula del producto de vectores
con 
Elevamos ambos lados al cuadrado y simplificamos
Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado
Las raíces de la ecuación cuadrática son 
, pero solamente 
satisface la ecuación sin los cuadrados, de allí que este sea el valor de buscado.
7Calcular el valor de sabiendo que 
y 
1Calculamos el producto de vectores
2Igualamos el resultado a 
y resolvemos para
8Suponiendo que respecto de la base ortonormal 
del plano. Calcular el valor para que los vectores 
y 
sean ortogonales.
1Como la base es ortonormal se tiene que
2Calculamos el producto punto de 
y 
3Dos vectores son ortogonales si su producto punto es cero. Sustituimos y depejamos
9Calcula la proyección del vector 
sobre el vector 
.
1La fórmula de la proyección del vector sobre el vector viene dada por
2Calculamos el producto de los vectores
3Calculamos la magnitud del vector
4Sustituimos los datos en la fórmula de la proyección
10Hallar un vector unitario 
de la misma dirección del vector 
.
1La fórmula de un vector unitario viene dada por
2Calculamos la magnitud del vector
3Sustituimos en la fórmula de vector unitario
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Obtenga para los puntos A y B las distancias dirigidas AB yBA
A) A(3,4) y B(5,4)
B) A(2,‐8) y B(2,12)
Sean u = 2i − 3j y v = −4i + 6j. Encuentre: 4v − 6u , con su bosquejo
Al trasladar el punto A(2,4) dado el vector B(2-2) se obtiene?
Hola, de la matriz que calcularon la determinante no es =0.
Podrías señalar el ejercicio para rectificar por favor.
Calcular x²+1
Cómo resolver los ejercicios si están en kilómetros por ejemplo:
A= 300km b=4,000km C= 5,000km
24 4 70 NE
Vectores modelo