1 Un vector 
tiene componentes 
. Hallar las coordenadas de 
si se conoce el extremo 
.
tiene componentes . Hallar las coordenadas de si se conoce el extremo . 1 Como no conocemos las coordenadas de , las denotamos mediante
.
2 Sabemos que las coordenadas de un vector se obtienen a partir de restarle el punto inicial al punto final
3 Obtenemos dos ecuaciones
4 Resolvemos las dos ecuaciones y obtenemos que las coordenadas de son
2 Dado el vector
y dos vectores equipolentes a 
y 
, determinar 
y 
sabiendo que 
y 
.
y dos vectores equipolentes a y , determinar y sabiendo que y . 1 Como son equipolentes, entonces 
.
2 Como no conocemos las coordenadas de , las denotamos mediante
.
3 Sabemos que las coordenadas de un vector se obtienen a partir de restarle el punto inicial al punto final
4 Obtenemos dos ecuaciones
5 Resolvemos las dos ecuaciones y obtenemos que las coordenadas de son
6 Resolviendo de la misma forma que para , tenemos que 
.
3 Calcular la distancia entre los puntos 
y 
.
y . 1 La fórmula para la distancia entre dos puntos es
2 Sustituimos los valores de y fórmula de distancia entre dos puntos y obtenemos
4 Si 
es un vector de componentes 
, hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.
es un vector de componentes , hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido. 1 La fórmula para que un vector sea unitario es
2 Calculamos la magnitud de
3 Sustituimos en la fórmula para obtener un vector unitario
5 Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector 
.
. 1 La fórmula para que un vector sea unitario es
2 Calculamos la magnitud de
3 Sustituimos en la fórmula para obtener un vector unitario
6 Calcula las coordenadas de 
para que el cuadrilátero de vértices 
y sea un paralelogramo.
para que el cuadrilátero de vértices y sea un paralelogramo.
1 Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales en magnitud y dirección, entonces tenemos
2 Como no conocemos las coordenadas de , las denotamos mediante
.
3 Sustituimos los valores de los vértices del paralelogramo en la igualdad de vectores
4 Obtenemos dos ecuaciones
5 Resolviendo las ecuaciones obtenemos las coordenadas buscadas
7 Hallar las coordenadas del punto medio del segmento 
, de extremos 
y 
.
, de extremos y . 1 Las fórmulas para las coordenadas del punto medio son
2 Sustituimos los valores de y en las dos fórmulas anteriores
3 El punto medio es 
.
8 Hallar las coordenadas del punto , sabiendo que 
es el punto medio de 
, donde 
.
, sabiendo que es el punto medio de , donde . 1 Las fórmulas para las coordenadas del punto medio son
2 Sustituimos los valores de y en las dos fórmulas anteriores y calculamos la primera coordenada de
3 La segunda coordenada de es
4 Finalmente 
es
9 Averiguar si están alineados los puntos 
y 
.
y . 1 Los puntos 
son colineales si las pendientes de los segmentos y 
son iguales.
2 Como ambas pendientes son iguales, entonces los tres puntos si están alineados.
10 Calcular el valor de 
para que los puntos 
estén alineados.
para que los puntos estén alineados. 1 Los puntos son colineales si las pendientes de los segmentos y son iguales.
2 Como ambas pendientes son iguales, igualamos ambas expresiones y despejamos
11 Dados los puntos 
y 
, hallar un punto alineado con y , de manera que se obtenga 
.
y , hallar un punto 
alineado con y , de manera que se obtenga 
. 1 Partimos de la condición dada y obtenemos una igualdad
2 Igualamos ambas expresiones coordenada a coordenada y obtenemos
3 Resolvemos ambas ecuaciones para obtener las coordenadas de
12 Dado un triángulo con vértices 
y 
, hallar las coordenadas del baricentro.
y , hallar las coordenadas del baricentro. 1 La fórmula para encontrar el baricentro es
2 Sustituyendo los valores de los vértices del triángulo obtenemos
13 Dado un triángulo con dos de sus vértices 
y el baricentro 
, calcular el tercer vértice.
y el baricentro , calcular el tercer vértice. 1 La fórmula para encontrar el baricentro es
2 Sustituyendo los valores del baricentro y los vértices del triángulo obtenemos dos ecuaciones
3 Resolvemos ambas ecuaciones y obtenemos el tercer vértice 
.
14 Hallar el simétrico del punto 
respecto de 
.
respecto de . 1 Denotamos por 
al simétrico de , luego se cumple que 
2 Sustituyendo los valores de los puntos, obtenemos dos ecuaciones correspondientes a las coordenadas de los vectores
3 Resolvemos ambas ecuaciones y obtenemos 
.
15 Hallar el simétrico del punto 
respecto de 
.
respecto de . 1 Denotamos por al simétrico de , luego se cumple que
2 Sustituyendo los valores de los puntos, obtenemos dos ecuaciones correspondientes a las coordenadas de los vectores
3 Resolvemos ambas ecuaciones y obtenemos 
.
16 ¿Qué puntos 
y 
dividen al segmento de extremos 
y 
en tres partes iguales?
y dividen al segmento de extremos y en tres partes iguales?
1 En notación vectorial tenemos
2 Sustituyendo los valores de los puntos, obtenemos dos ecuaciones correspondientes a las coordenadas de los vectores
3 Resolvemos ambas ecuaciones y obtenemos 
.
4 Para encontrar las coordenadas de utilizamos la condición
5 Sustituyendo los valores de los puntos, obtenemos dos ecuaciones correspondientes a las coordenadas de los vectores
6 Resolvemos ambas ecuaciones y obtenemos 
.
17 Si el segmento de extremos 
se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?
de extremos se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?
1 Notamos que es el punto medio del segmento
2 es el punto medio del segmento 
3 
es el punto medio del segmento 
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Sean u = 2i − 3j y v = −4i + 6j. Encuentre: 4v − 6u , con su bosquejo
Al trasladar el punto A(2,4) dado el vector B(2-2) se obtiene?
Hola, de la matriz que calcularon la determinante no es =0.
Podrías señalar el ejercicio para rectificar por favor.
Calcular x²+1
Cómo resolver los ejercicios si están en kilómetros por ejemplo:
A= 300km b=4,000km C= 5,000km
Osea cuando sustituimos tenemos que poner √(X1,X2)² + (Y1,X2)²
O (X2,X1)² +(Y2,Y1)²
¿Cual de las dos?
Depende de que quieras obtener y que significa la expresión (X1,X2), la expresión √(X1,X2)² + (Y1,X2)² esta mal escrita si quieres encontrar una distancia.
24 4 70 NE
Vectores modelo