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En esta sección describiremos el concepto de pendiente de una recta, así como algunas formas de calcularla. Después, a partir del concepto de pendiente, definiremos la ecuación "punto-pendiente" de una recta. Finalmente, daremos unos ejemplos sobre cómo obtener la ecuación punto-pendiente de una recta.
Considera la recta de la siguiente figura. La pendiente de la recta es la tangente del ángulo 
que forma la recta con la dirección positiva del eje 
. En otras palabras, si es el ángulo entre la recta y el eje , entonces la pendiente es 
.
La pendiente se suele denotar utilizando la 
. Algunas fórmulas para calcular la pendiente son las siguientes:
1 Pendiente dado el ángulo
Si ya conocemos el ángulo que se forma entre la recta y el eje positivo, entonces la pendiente se calcula mediante:
2 Pendiente dado el vector director de la recta
La recta se puede definir por medio de un vector-dirección 
y un punto 
(que está en la recta). Esta manera de definir una recta se conoce como ecuación paramétrica de la recta. En este caso, la pendiente se obtiene utilizando:
Observemos que la pendiente no depende del punto; únicamente depende del vector director.
3 Pendiente dados dos puntos
Recordemos que la tangente del ángulo de un triángulo rectángulo se define como 
, donde 
es la longitud del cateto opuesto y 
es la longitud del cateto adyacente.
De este modo, si miramos la imagen del principio, podemos ver que 
y 
. Sustituyendo, tenemos que,
Así, la pendiente de la recta que pasa por los puntos y 
se calcula mediante:
Interpretación de la pendiente
Observemos la siguiente figura donde el ángulo está entre 
y 
—es decir, el ángulo es agudo—.
Si el ángulo que forma la recta 
con la parte positiva del eje es agudo, entonces la pendiente es positiva e incrementa al crecer el ángulo —siempre que el ángulo se mantenga menor a —. Intuitivamente, la pendiente mide "qué tan inclinada" está la recta: una pendiente grande significa que la recta está muy inclinada hacia arriba.
Ahora observa la siguiente figura donde el ángulo es mayor a , pero menor a 
.
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje es obtuso —mayor a , pero menor a —, la pendiente es negativa y tiende a 
cuando crece el ángulo. Igualmente, una pendiente negativa también mide qué tan inclinada está la recta; sin embargo, en este caso una pendiente negativa muy grande indica que la recta se encuentra muy inclinada "hacia abajo".
Ecuación punto-pendiente de la recta
Ahora vamos a obtener la ecuación punto-pendiente de la recta. Se puede empezar desde distintas ecuaciones de la recta, nosotros empezaremos de la ecuación continua (o normal) de la recta —donde es un punto que está en la recta y es el vector director,
Multiplicando ambos lados por 
, obtenemos,
Luego, como,
Entonces, se obtiene:
La cual se conoce como ecuación punto-pendiente de la recta.
Nota: Para calcular la ecuación punto-pendiente de la recta siempre necesitamos un punto y la pendiente (la cual se puede calcular utilizando cualquiera de las formas que describimos al principio).
Ejemplos
1 Tenemos una recta pasa por el punto 
y tiene un vector director 
. Escribe su ecuación punto-pendiente.
Solución: Se nos proporcionó un vector director 
, por lo que su pendiente está dada por
De esta manera, sustituyendo en la ecuación punto-pendiente con 
e 
, tenemos que
Ten cuidado con los signos, ya que
.
2 Encuentra la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos 
y 
.
Solución: En esta ocasión tenemos dos puntos que están en la recta, por lo tanto, la pendiente se calcula mediante:
Así, al sustituir en la ecuación punto-pendiente, se obtiene
3 Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por y tiene una inclinación de 
.
Solución: Por último, se nos proporcionó el ángulo que hay entre la recta y el eje . Así, la pendiente está dada por,
De manera que la ecuación recta-pendiente es:
Es decir,
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