Problemas interactivos de de la ecuación de la recta II

Contesta a las siguientes cuestiones:

1¿Cuál es el área del triángulo de vértices A(−2, −1), B(3, −2) y C(2, 3)?

Área = u2

Para calcular el área del triángulo necesitamos conocer la longitud de la base y de la altura del mismo.

Consideremos que la base es AB.

 Longitud de la base

La longitud de la base es la distancia entre los puntos A y B.

 Longitud de la altura

Tenemos que empezar calculando la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B.

Ahora calculamos la perpendicular a la recta r que pasa por el punto C (la llamaremos recta s). Esta será la ecuación de la altura del triángulo.

La recta s, perpendicular a la recta r, tiene pendiente .

Entonces es de la forma:

y = 5x + n

Como esta recta pasa por el punto C(2, 3), sustituimos las coordenadas del punto en la recta para encontrar el término independiente.

3 = 5 · 2 + n ⇒ n = − 7

Entonces, la ecuación de la recta s es

s ≡ y = 5x − 7

Calculemos ahora el punto de corte de las rectas r y s:

El punto de corte es .

Para calcular la longitud de la altura, tenemos que hallar la distancia entre los puntos P y C.

Área del triángulo

2¿Cuál es el área del cuadrilátero de vértices A(1, 1), B(4, 2), C(1, 4) y D(0, 3)?

Área = u2

Para calcular el área del cuadrilátero vamos a dividirlo en dos triángulos y vamos a hallar el área de cada uno de estos dos triángulos.

 Diagonal AC

La diagonal AC divide al cuadrilátero en dos triángulos cuya base es esta diagonal.

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A y C es

La longitud de la diagonal AC es la distancia entre los puntos A y C.

Esta longitud será la base de los dos triángulos en los que ha quedado dividido el cuadrilátero.

 Triángulo ABC

Vamos a calcular el área del triángulo ABC.

Sabemos que la base del triángulo tiene longitud 3. Veamos cuál es la longitud de la altura.

La altura del triángulo viene dada por la recta perpendicular al lado AC que pasa por el punto B.

La recta s, perpendicular a la recta r, tiene pendiente .

Entonces es de la forma:

y = n

Como esta recta pasa por el punto B(4, 2), la ecuación de la recta es

s ≡ y = 2

Calculemos ahora el punto de corte de las rectas r y s:

El punto de corte es P(1, 2)

La distancia entre los puntos P y B es la longitud de la altura del triángulo ABC.

Entonces el área del triángulo ABC es:

 Triángulo ADC

Vamos a calcular el área del triángulo ADC.

Sabemos que la base del triángulo tiene longitud 3. Veamos cuál es la longitud de la altura.

La altura del triángulo viene dada por la recta perpendicular al lado AC que pasa por el punto D.

La recta t, perpendicular a la recta r, tiene pendiente .

Entonces es de la forma:

y = n

Como esta recta pasa por el punto D(0, 3), la ecuación de la recta es

t ≡ y = 3

Calculemos ahora el punto de corte de las rectas r y t:

El punto de corte es Q(1, 3)

La distancia entre los puntos Q y D es la longitud de la altura del triángulo ADC.

Entonces el área del triángulo ADC es:

 Área del cuadrilátero ABCD

El área del cuadrilátero es la suma de las áreas de los dos triángulos.

Elige la opción correcta en cada caso:

3Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(−3, −2), B(−1, −3), C(1, 1) y D(−1, 2). Comprueba que es un paralelogramo y calcula su centro y su área.




 ABCD es un paralelogramo

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados son paralelos dos a dos.

Calculemos las ecuaciones de las rectas que determinan todos los lados y veamos que se verifica que las rectas que determinan lados opuestos son paralelas.

 Lado AB

 Lado CD

 Lado BC

 Lado AD

Como las rectas que determinan lados opuestos tienen la misma pendiente, son paralelas. Así que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

 Centro del paralelogramo

El centro del paralelogramo es el punto de corte de sus diagonales.

Calculemos las diagonales del paralelogramo.

 Diagonal AC

 Diagonal BD

Veamos cuál es el punto de corte de las diagonales

El punto de corte de las diagonales es

 Área del paralelogramo

Podemos observar que el paralelogramo es un rectángulo ya que las pendientes de dos lados consecutivos verifican la condición de perpendicularidad.

Entonces para hallar el área basta con calcular la longitud de dos lados consecutivos.

 Distancia AB

 Distancia BC

Entonces el área del paralelogramo es el producto de estas dos longitudes:

4Un cuadrado tiene su vértice A en el punto (−1, 1) y su centro en el punto P(1, 1). Calcula las coordenadas de los otros tres vértices.




 Vértice B

P es el punto medio de AB

Sabiendo esto podemos hallar las coordenadas del vértice B.

Entonces B(3, 1).

 Vértices C y D

Como las diagonales de un cuadrado son perpendiculares y los vértices A y B se encuentran en la recta y = 1, los vértices C y D tienen que estar sobre una recta que es perpendicular a esta, es decir, de la forma x = a.

Utilizamos la siguiente condición que cumple un cuadrado y obtenemos un valor para x. Este valor de x será la primera coordenada de los puntos C y D.

Utilizando otra condición, obtenemos dos valores distintos para y. Estos dos valores de y son la segunda coordenada de los puntos C y D.

Luego C(1, 3) y D(1, −1).

Si tienes dudas puedes consultar la teoría