Ejercicios interactivos de áreas y vólumenes de poliedros regulares

Resuelve los siguientes problemas:

1Para algunos juegos de rol se usan dados con formas distintas de la habitual, por ejemplo, estos dados con formas de tetraedro cuya arista mide 1.2 cm. Indica el volumen que ocupa cada uno de estos dados redondeando a dos cifras decimales el resultado que obtengas.

V =  cm3

¿Cuál es el área de cada una de las caras de este tipo de dados?

A =  cm2

Sol01

Para hallar el área de cada una de las caras podemos hacerlo de dos formas.

Guión Teniendo en cuenta que todas las caras son iguales.

De este modo basta calcular el área total y dividir entre 4.

Solución

Guión Teniendo en cuenta que estas son triángulos equiláteros de lado 1.2 cm

Triángulo_equilátero

Sol01

2Calcula el área y el volumen de un tetraedro cuya arista es de 5 cm, redondeando a dos cifras decimales si fuera necesario.

A =  cm2
V =  cm3

Sol2

3Calcula la altura del siguiente tetraedro.

tetra

h  =  cm

Calcula también el área y el volumen sabiendo que la apotema de la base mide 4.33 cm, de nuevo redondeando a dos cifras decimales si fuese necesario.

A =  cm2

V =  cm2

En primer lugar calculamos la apotema del tetraedro, que nos ayudará poseteriormente a hallar la altura del mismo.

Para hallar la apotema nos fijamos en una cara del tetraedro, que será un triángulo equilátero de 15 cm de lado. La apotema del tetraedro coincidirá con la altura de uno de estos triángulos, que calcularemos aplicando el teorema de Pitágoras:

Triangulo_equilateroap=12.99cm

Para hallar la altura del tetraedro nos fijamos en el siguiente triángulo y de nuevo aplicamos el teorema de Pitágoras:p

h=10.61cm

Calculamos a continuación el área y el volumen del tetraedro:

Área y Volumen

4Marta tiene una colección de minerales. Uno de sus favoritos es la fluorita (el cual tiene forma de octaedro) que podemos observar en el siguiente dibujo:
Sabiendo que su arista mide 1.3 cm, calcula el área y el volumen de esta pieza de colección.

Fluorita_Octoedro

A =  cm2

V =  cm3

¿Cuál es el área de una cara?  cm2

Sol04

Para calcular el área de una cara del octaedro debemos tener en cuenta que este es un poliedro regular formado por 8 triángulos equiláteros iguales. Por tanto, dividimos el área del octaedro por 8 y obtenemos el área de una de sus caras

Sol4_03

5Si el área de un octaedro es de 18·sqrt(3) cm, calcula la medida de la arista de dicha figura. Redondea a dos cifras decimales

¿Cuál sería el volumen de la misma?

 cm3

Sol5_01

Usando la medida de la arista es muy fácil calcular el volumen del octaedro:

Sol5_02

6Calcula el área y el volumen de dodecaedro de 8 cm de arista sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.8 cm. Redondea a dos cifras decimales si es necesario.

Ej_06

A =  cm2


V =  cm3

Basta aplicar las fórmulas del área y volumen que conocemos para el dodecaedro.

Sol_06

7Calcular el área y el volumen del siguiente calendario, siendo su arista de 6 cm y su apotema de 5 cm. Redondea a dos cifras decimales si es necesario.

Ej_07

A =  cm2


V =  cm3

Observando la figura vemos que se trata de un dodecaedro, por tanto basta aplicar las fórmulas del área y volumen conocidas.

Sol_07

8El profesor de Matemáticas de los alumnos de 3º ESO les entrega el siguiente desarrollo del icosaedro, cuya arista mide 3 cm.

ej8

¿Cuál será el área de la figura formada?  cm2

¿Y el volumen?  cm3

Calculamos el área y el volumen aplicando las fórmulas conocidas para esta figura

Sol_08

9El área total del icosaedro Ej9. ¿Cuánto mide la arista?. Redondea a dos cifras decimales.

 cm

Dada el área, calculamos la arista igualando el área con la fórmula que tenemos para calcularla.

Sol_09

Si tienes dudas puedes consultar la teoría