Resumen de figuras geométricas planas

Polígonos

Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.

Elementos de un polígono:

1 Lados: Son los segmentos que lo limitan.

2 Vértices: Son los puntos donde concurren dos lados.

3 Ángulos interiores de un polígono: Son los determinados por dos lados consecutivos.

4 Diagonal: Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos

Número de diagonales de un polígono:

Si n es el número de lados de un polígono::

n · (n − 3) : 2

Polígonos regulares

Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales.

Elementos de un polígono regular

pentágono

1 Centro: Punto interior que equidista de cada vértice.

2 Radio: Es el segmento que va del centro a cada vértice.

3 Apotema: Distancia del centro al punto medio de un lado.

Ángulos de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

Ejemplo:

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo interior = (n - 2) · 180° : n

Polígono inscrito

Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella.

1 Circunferencia circunscrita

Es la que toca a cada vértice del polígono.

Su centro equidista de todos los vértices.

Su radio es el radio del polígono.

2 Circunferencia inscrita

Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado.

Su centro equidista de todos los lados.

Su radio es la apotema del polígono.

Triángulos

Un triángulo es un polígono con tres lados.

Propiedades de los triángulos

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Tipos de triángulos

1 Según sus lados:

Triángulo equilátero

Tres lados iguales.

Triángulo equilátero

Triángulo isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo isósceles

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales.

Triángulo escaleno

2 Según sus ángulos:

Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo acutángulo

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos.

Triángulo rectángulo

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.

Triángulo obtusángulo

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

Ortocentro

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro

Baricentro

Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

BG = 2GA

Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

triángulo

Teorema de la altura

triángulo

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

Teorema de la altura

Teorema de Pitágoras

triángulo

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras

Circunferencia y círculo

1Circunferencia

Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. circunferencia

Centro de la circunferencia: Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia: Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.


Elementos de la circunferencia

Cuerda

Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

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Diámetro

Cuerda que pasa por el centro.

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Arco

Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

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Semicircunferencia

Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

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2 Círculo

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Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.

Elementos de un círculo

Segmento circular

Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

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Semicírculo

Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.

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Zona circular

Porción de círculo limitada por dos cuerdas.

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Sector circular

Porción de círculo limitada por dos radios.

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Corona circular

Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.

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Trapecio circular

Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.

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Ángulos en la circunferencia

1 Ángulo central

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El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
expresión

2 Ángulo inscrito

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El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
expresión

3 Ángulo semi-inscrito

dibujo

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
expresión

4 Ángulo interior

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Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.
expresión

5 Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

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Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
expresión

Longitud de una circunferencia

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Longitud de un arco de circunferencia

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Área de un círculo

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Área de un sector circular

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Área de una corona circular

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Es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor.

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Área de un trapecio circular

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Es igual al área del sector circular mayor menos el área del sector circular menor.

fórmula

Área de un segmento circular

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Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

Polígonos estrellados

Un polígono regular estrellado se construye uniendo los vértices no consecutivos, de un polígono regular convexo, de forma continua.

Se denotan por N/M, siendo N el número de vértices del polígono regular convexo y M el salto entre vértices.

N/M ha de ser fracción irreducible.

El polígono N/M es el mismo que el N/(N-M), ya que el polígono estrellado que se obtiene uniendo vértices en un sentido y en el contrario es el mismo.

Perímetro de un polígono: Es la suma de las longitudes de los lados de un polígono.

Área: Es la medida de la región o superficie encerrada por una figura plana

1 Área de un cuadrado:

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fórmulas
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2 Área de un rectángulo:

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3 Área de un rombo:

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4 Área de un romboide:

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P = 2 · (a + b)

A = b · h

5 Área de un trapecio:

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6 Área de un triángulo:

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7 Área de un polígono:

dibujo
A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4

El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.

8 Área de un polígono regular:

dibujo
fórmulas
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