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Teorema del cateto
En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
Donde:
- es la hipotenusa.
- y son los catetos.
- es la proyección del cateto sobre la hipotenusa.
- es la proyección del cateto sobre la hipotenusa.
Dicho lo anterior, se satisfacen las siguientes relaciones:
Ejemplo:La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide cm y la proyección de un cateto sobre ella cm. Hallar el otro cateto.
Solución:Para resolver este problema, usaremos la segunda fórmula de arriba, esto es,
con y . Así
Teorema de la altura
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que dividen a ésta.
Se satisfacen las siguientes relaciones:
Ejemplo:En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden y centimetros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.
Solución:Para resolver este problema, usaremos la primera fórmula de arriba, esto es,
con y . Así
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, esto es,
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
Al conocer los valores de los dos catetos, podemos despejar para la hipotenusa:
Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en m y m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
Solución: Al conocer el valor de los dos catetos, usamos la fórmula de arriba, esto es,
Así,
Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
Conociendo la hipotenusa y un cateto, del terorema de Pitágoras se sigue que
Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide m y uno de sus catetos m. ¿Cuánto mide el otro cateto?
Solución:Al conocer la hipotenusa y el cateto , usamos la fórmula
Así, se tiene que
Conociendo sus lados, averiguar si es un triángulo rectángulo
Para que sea triángulo rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores, es decir, si se verifica el teorema de Pitágoras
Ejemplo: Determinar si el triángulo es rectángulo.
Solución: Para determinar si tenemos un triángulo rectángulo, verificamos el teorema de Pitágoras:
Por lo tanto, el triángulo sí es rectángulo.
Calcular la diagonal del cuadrado
Para calcular la diagonal de cuadrado, observamos que los catetos que se forman al trazar la diagonal, son iguales y valen . Así, por el teorema de Pitágoras tenemos que
Calcular la diagonal del rectángulo
En este caso tenemos todos los datos necesarios para utilizar el teorema de pitágoras. Así
Calcular el lado oblicuo del trapecio rectángulo
El lado oblicuo del trapecio corresponde a . Ahora, observamos que , así, usando el teorema de Pitágoras obternemos que
Calcular la altura del trapecio isósceles
Utilizando nuestros conocimientos de geometría analítica, sabemos que
Así, al conocer la hipotenusa, , del tríangulo y uno de sus catetos, , entonces tenemos que
Calcular la altura del triángulo equilátero
Dado que un triángulo equilátero, por definición, tiene todos sus lados iguales entonces, al trazar su altura dividimos la base entre dos. Así, se forman dos triángulos rectángulos de los cuales conocemos su hipotenusa y uno de sus catetos. Por lo tanto, el teorema de Pitágoras nos dice que
Por lo tanto,
Calcular el apotema de un polígono regular
De la figura observamos que el apotema corresponde a uno de los catetos del triágulo que se forma en su interior, del cual conocemos su hipotenusa y su otro cateto. Así, el teorema de Pitágoras nos dice que
Calcular el apotema del hexágono inscrito
Tenemos un círculo de radio y un hexágono regular de lado . El apotema del hexágono inscrito divide uno de los lados del hexágono en dos, formando así un triángulo rectángulo del cual conocemos su hipotenusa, , y uno de sus catetos, . Así, el teorema de Pitágoras nos dice que
Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito
Tenemos un círculo de radio y en el insctrito triángulo equilátero de lado . Debemos calcular el lado del triángulo en función del radio del círculo. Para eso observamos que, si denotamos por el centro del círculo y por lo tanto, el centro del triángulo, entonces la base del triángulo corta en dos el radio formando así un tríangulo rectángulo del cual conocemos su cateto o base, y el otro cateto que tiene dimensiones .Además su hipotenusa es . Por lo tanto, el teorema de Pitágoras nos dice que se debe cumplir que
Entonces
Calcular el lado de un cuadrado inscrito
Tenemos un círculo de radio e inscrito un cuadrado de lado . El centro del círculo también corresponde al centro del cuadrado. Dos radios del círculo junto con el lado del cuadrado inscrito forman un triángulo rectángulo de hipotenusa y catetos . Para calcular la hipotenusa del triángulo en función del radio usamos el teorema de Pitágoras. Así
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Muchas gracias,
Creo que el teorema de Pitagoras también puede servir para hallar o trazar perpendiculares sin usar compás, al permitir la construccion triángulos rectángulos.
En el ejercicio 2 veo que toma como altura 10cm, cuando se supone que h que fue la medida que buscamos es la altura. Por lo tanto el área correcta es de 21.65cm2
El ejercicio 2 que me sale es el siguiente:
Un faro barre con su luz un ángulo plano de 180. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?
Que no tiene que ver con que mencionas.
Será que me pueden ayudar en este problema de encontrar el cateto ” a” en un triángulo rectángulo donde la hipotenusa mide 4 cm y el cateto “B” mide 3 cm , ayudaaaa
gracias por su tarea
GRACIAS POR SEMEJANTE TRABAJO, CREATIVO Y MUY BIEN ESTRUCTURADOS LOS PROBLEMAS
Quisiera si me pueden ayudar a resolver estos problemas : Hallar el area de la interseccion de los circulos . x2 +y2 = 9 y x2 +y2 =6x y otro es; Hallar la ongitud del arco de la curva a) x = 1/2 y elevado la 2 – i/4 desde y=1 hasta y = e b) (y +1)elevado a la 2 = 4x elevado a la 3 desde (0,,0) hasta (1.5)
longitud y perímetro con los datos r=14.5cm \theta =(3)/(4\pi )
los puntos A, B, C, D, E y F de la circunferencia de centro O y
4cm de radio determinan seis arcos congruentes. Hola profesor, ¿usted me puede ayudar con ese problemas?