A continuación veremos un par de ejercicios resueltos utilizando como herramienta el Teorema de Pitágoras:

 

1 Dado un triángulo equilátero de de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto:

Triangulo equilatero y circunferencia

 

Calculamos el altura del triangulo equilátero utilizando el teorema de Pitágoras


Por tanto, el radio es


De aquí concluimos que le área es


2 Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de de diagonal.

Corona circular
Tenemos que la diagonal es dos veces el radio de la circunferencia mayor, es decir,


Ahora, utilizamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado del cuadrado


Conociendo el lado del cuadrado, también conocemos el radio de la circunferencia mas pequeña, pues esta sería


Por lo tanto el área de la corona circular es


3 Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo y base menor de cm, calcular el área del trapecio.

Trapecio isósceles
Recordemos que la formula para calcular el área del trapecio es la siguiente


Para encontrar la altura del trapecio debemos calcular primero la altura del triangulo:


entonces


Como ya tenemos la altura del trapecio procedemos a calcular el área


4 El área de un cuadrado es . Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

Hexagono y apotema
Primero encontramos el lado del cuadrado considerando que su área es lado x lado


puesto que su lado es de cm entonces su perímetro es


Tenemos que el cuadrado y el hexágono tienen el mismo perímetro, también sabemos que un hexágono tiene 6 lado, por tanto la medida del lado del hexágono es


Recordando el área del hexágono


Hexagono

 

Por lo que nos falta calcular la apotema del hexágono para poder calcular su área


entonces


5 En una circunferencia de radio igual a se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

problemas de areas 8

 

Necesitamos conocer el lado del cuadrado; para esto observamos que el diámetro de la circunferencia es igual a la diagonal del cuadrado. aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene

 

 

El área del cuadrado es

 

 

Para encontrar el área del triángulo equilátero, dividimos en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras para encontrar la altura

 

 

El área del triángulo es

 

 

El área de la estrella es

 

 

6 Sobre un círculo de  cm de radio se traza un ángulo central de . Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

Angulo de 60
Calculemos primeramente el área del sector del circulo formada por los :


Después debemos calcular el área del triangulo equilátero formado con los dos radio y la cuerda; para esto comenzaremos calculando su altura. Usando el teorema de Pitágoras tendremos que


y entonces el área del triangulo es


Con lo anterior calculamos el área del segmento buscado

7En una circunferencia una cuerda de y dista del centro. Calcular el área del círculo.

problemas de areas 22
Consideramos el triángulo rectángulo como se muestra en la figura y empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio


Calculamos el área del círculo

8Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden y respectivamente. Calcular el área del círculo.

problemas de areas 23

 

La hipotenusa coincide con el diámetro del círculo. Empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio


Calculamos el área del círculo

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗