1 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide y la proyección de un cateto sobre ella . Calcular los catetos, la altura relativa a la hipotenusa y el área del triángulo.

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 1

 

2 Observamos que se obtienen dos triángulos equivalentes, como la hipotenusa es y la proyección de un cateto es , tenemos que

 

 

3 Para el cateto se tiene

 

 

4 Para el cateto se tiene

 

 

5 Para la altura relativa a la hipotenusa se tiene

 

 

6 El área del triángulo es

 

 


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2 Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es y la altura relativa de la misma .

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 2

 

2 Observamos que se obtienen dos triángulos equivalentes, por lo que tenemos que

 

 

Así, la hipotenusa mide

 

 

3 Para el cateto se tiene

 

 

4 Para el cateto se tiene

 

 

5 Así, los lados del triángulo son:

 

 

3Una escalera de de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 3

 

2 Observamos que la altura de la escalera sobre la pared se obtiene con el teorema de Pitágoras

 

 

Así, la atura solicitada es

 

 

4Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

1Representamos gráficamente el cuadrado

 

problemas del teorema de Pitagoras 4.1

 

2Su perímetro es . Para calcular el área empleamos

 

 

3El triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales, por lo que si su perímetro es de , entonces cada uno de sus lados mide

 

problemas del teorema de Pitagoras 4.2

 

4Para encontrar el área requerimos conocer su altura, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

 

5Para calcular su área, empleamos

 

 

Así, ambas figuras tienen el mismo perímetro, pero distinta área.

 

5Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio .

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 5

 

2El centro de la circunferencia es el baricentro, por tanto y se obtiene

 

 

3Para encontrar el área del triángulo requerimos conocer su base, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

 

4Para calcular su área, empleamos

 

 

6Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud .

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 6

 

2Necesitamos conocer un lado del cuadrado, para esto primero calculamos el radio a partir de conocer la circunferencia

 

 

3Para encontrar el lado del cuadrado, consideramos el triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales son los radios de la circunferencia

 

 

4Así, el área del cuadrado es

 

 

7En un cuadrado de de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 7

 

2Necesitamos conocer los radios de los círculos; para esto observamos que el lado del cuadrado de lado es igual al diámetro del círculo inscrito

 

 

3El díámetro del primer círculo es igual a la diagonal del segundo cuadrado, aplicando e teorema de Pitágoras obtenemos el lado del segundo cuadrado

 

 

4Así, el área del segundo cuadrado es

 

 

5El diámetro del segundo círculo es igual al lado del segundo cuadrado

 

 

6El área el segundo círculo es

 

 

7Así, el área solicitada es

 

 

8El perímetro de un trapecio isósceles es de , las bases miden y respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 8

 

2 Como las bases suman , entonces los lados suman , luego cada lado mide . Para conocer la altura construimos un triángulo rectángulo como en la figura. empleando el teorema de Pitágorasse tiene

 

 

3Calculamos el área del trapecio

 

 

9A un hexágono regular de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

1Representamos gráficamente

 

problemas del teorema de Pitagoras 9

 

2 Calculamos el radio de la circunferencia circunscrita, para esto observamos que el hexágono se divide en seis triángulos equiláteros iguales, por lo que

 

 

3Calculamos el radio de la circunferencia inscrita, este coincide con la altura del triángulo equilátero

 

 

4Calculamos el área de la corona circular, la cual se obtiene a partir de la diferencia de áreas de los círculos

 

 

10En una circunferencia una cuerda de y dista del centro. Calcular el área del círculo.

1Representamos gráficamente

 

problemas del teorema de Pitagoras 10

 

2 Consideramos el triángulo rectángulo como se muestra en la figura y empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio

 

 

3Calculamos el área del círculo

 

 

11Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden y respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

1Representamos gráficamente

 

problemas del teorema de Pitagoras 11

 

2 La hipotenusa concide con el diámetro del círculo. Empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio

 

 

3Calculamos la longitud de la circunferencia

 

 

4Calculamos el área del círculo

 

 

12Sobre un círculo de de radio se traza un ángulo central de . Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas del teorema de Pitagoras 12

 

2El área del sector es

 

 

3Para encontrar la altura del triángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras

 

 

4Calculamos el área del triángulo equilátero

 

 

5El área del segmento circular es

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗