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Vamos

Repaso

 

A partir de la ecuación canónica de la parábola es fácil determinar muchos de sus elementos sin necesidad de hacer cuentas complicadas. De la misma manera, dados algunos de elementos de una parábola, podemos encontrar su ecuación.

A continuación presentamos un resumen de lo más importante que necesitas saber sobre las parábolas.

 

Ecuación canónica u ordinaria:

 

1

 

Abre hacia la derecha
Foco
Directriz

 

2  

 

Abre hacia la izquierda
Foco
Directriz

 

3  

 

Abre hacia arriba
Foco
Directriz

 

4

 

Abre hacia abajo
Foco
Directriz

 

El vértice de la parábola es el punto .

Cuando la parábola tiene como vértice el origen , ocurre lo siguiente con su ecuación:

 

1

 

Abre hacia la derecha
Foco
Directriz

 

2

 

Abre hacia la izquierda
Foco
Directriz

 

3

 

Abre hacia arriba
Foco
Directriz

 

4

 

Abre hacia abajo
Foco
Directriz

 

representa la medida del lado recto o LR.
es la distancia que hay del vértice al foco y del vértice a la directriz.

 

Encuentra elementos de la parábola

 

1 En base a la ecuación de las siguientes parábolas determina las coordenadas de sus focos, ecuaciones de sus directrices, distancia de sus lados rectos y la gráfica.

 

La forma de proceder será determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las parábolas, indicando el valor del parámetro , y con ello las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.

 

1

 

Despejamos el término cuadrático

Identificamos el valor de p

Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz

Finalmente graficamos usando los datos obtenidos

 

Parabola con vertice en el origen y abre hacia la derecha representación gráfica

 

2

 

Despejamos el término cuadrático

Identificamos el valor de p

Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz

Finalmente graficamos usando los datos obtenidos

 

Parábola con vértice en el origen y abre hacia la izquierda representación gráfica

 

3

 

Despejamos el término cuadrático

Identificamos el valor de p

Localizamos el foco y encontramos la ecuación de la directriz

Finalmente graficamos usando los datos obtenidos

 

Parabola con vertice en el origen y abre hacia abajo representación gráfica

 

2 Calcular las coordenadas del vértice y del foco, y la ecuación de la directriz de cada parábola:

 

La forma de proceder nuevamente será determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las parábolas, indicando el valor del parámetro , y con ello las coordenadas del foco y del vértice.

 

1

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos

Factorizamos

Con la ecuación identificamos sus elementos

Con el vértice y el valor del parámetro , localizamos el foco y la directriz

Finalmente ubicamos en la gráfica

Parábola con vértice fuera del origen representación gráfica

 

2

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos

Factorizamos

Con la ecuación identificamos sus elementos

Con el vértice y el valor del parámetro , localizamos el foco y la directriz

Finalmente ubicamos en la gráfica

Parabola con vertice fuera del origen representación gráfica

 

3

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos

Factorizamos

Con la ecuación identificamos sus elementos

Con el vértice y el valor del parámetro , localizamos el foco y la directriz

Finalmente ubicamos en la gráfica

Parabola que abre hacia arriba representación gráfica

 

3 Hallar la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola .

 

La ecuación de la parábola la podemos expresar de la siguiente manera:

De aquí se deduce que

Por lo tanto, el foco tiene coordenadas y la ecuación de la directriz es .

 

El lado recto de una parábola es la cuerda trazada por el foco y que es paralela a su directriz. Para calcular la longitud del lado recto se calcula el valor de "" para . Así, si , entonces

Aquí, hemos tomado el valor positivo ya que estamos hablando de distancia.

Así, la longitud del lado recto es dos veces esta distancia, esto es,

 

ejercicios de la parabola

Calcula la ecuación de la parábola dados un par de elementos

 

4 Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:

  • De directriz , de foco .
  • De directriz , de foco .
  • De directriz , de foco .
  • De directriz , de vértice .

 

1 De directriz , de foco .

 

Al localizar la directriz y el foco es fácil deducir que la parábola abre hacia la derecha y su vértice es el origen.

Sabiendo que el foco para estas parábolas tiene coordenadas , concluimos que

.

La ecuación es

 

dibujar una parábola representación gráfica

 

2 De directriz y = -5, de foco (0, 5).

 

Al localizar la directriz y el foco es fácil deducir que la parábola abre hacia arriba y su vértice es el origen.

Sabiendo que el foco para estas parábolas tiene coordenadas , concluimos que

.

Sustituimos en la ecuación:

 

encontrar foco y directriz de una parabola representación gráfica

 

3 De directriz , de foco .

 

Al localizar la directriz y el foco es fácil deducir que la parábola abre hacia la izquierda y su vértice es el origen.

El foco para parabolas que abren hacia la izquierda tiene coordenadas , esto significa que

Sustituimos en la ecuación:

 

Parábolas representación gráfica

 

4 De directriz , de vértice .

 

Al localizar la directriz y el vértice es fácil deducir que la parábola abre hacia abajo y su vértice es el origen.

Para estas parábolas la ecuación de la directriz es . Entonces

La ecuación es de la forma:

 

elementos de la parabola representación gráfica

 

5 Determina las ecuaciones de las parábolas dado el foco y el vértice.

  • De foco , de vértice .
  • De foco , de vértice .
  • De foco , de vértice .
  • De foco , de vértice .

 

1 De foco , de vértice .

 

Al localizar el foco y el vértice es fácil deducir que la parábola abre hacia la derecha y su vértice es el origen. Por lo que su ecuación es de la forma

Recordemos que para estas parábolas, el foco se encuentra en , por lo tanto

Finalmente la parábola tiene una ecuación de la forma:

 

grafica una parabola

 

2 De foco (3, 2), de vértice (5, 2).

 

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta a la izquierda del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia la izquierda y su ecuación es de la forma:

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que

Sustituimos en la ecuación:

 

gráfica de una parábola representación gráfica

 

3 De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).

 

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta arriba del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia arriba y su ecuación es de la forma:

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que

Sustituimos en la ecuación:

 

Cómo graficar una parábola

 

4 De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

 

Ubicando el vértice y el foco, podemos notar que el foco esta a la derecha  del vértice, lo que nos indica que la parábola abre hacia la derecha y su ecuación es de la forma:

Calculamos la distancia del vértice al foco y obtenemos que

Sustituimos en la ecuación:

directriz de una parabola

 

6 Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y por foco el punto .

 

Sabemos que la distancia entre el vértice y el foco es igual a la distancia entre el vértice y la directriz.

La distancia de una recta a un punto está dado por

Así que, si consideramos al vértice que no conocemos como el punto , la primera ecuación es equivalente a

Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz del lado izquierdo y desarrollamos

Despejamos, dejando las variable de un lado, y las de otro

Factorizamos

 

7 Hallar una ecuación para la parábola que tiene un eje horizontal, su vértice en y que pasa por el punto

 

Dado que el eje es horizontal y su vértice está en el punto , entonces de la ecuación

obtenemos la relación

Si la parábola pasa por el punto , entonces

Así, tenemos la ecuación

Simplificando la ecuación de arriba tenemos que la ecuación de la parábola que buscamos es

 

ejercicios de la parabola

Parábola que pasa por 3 puntos

 

8 Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos:

 

La ecuación de una parábola vertical es de la forma

Como los puntos A, B y C pasan por la parábola, sus coordenadas satisfacen su ecuación

Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos que

Y así la ecuación de la parábola es

 

Posición relativa de una recta y parábola

 

9 Calcular la posición relativa de la recta

respecto a la parábola

 

Para calcula la posición relativa entre ambos objetos necesitamos ver si existen puntos de intersección. Las coordenadas de dichos puntos deberían satisfacer ambas ecuaciones.

Para resolver el sistema, podemos elevar al cuadrado la segunda ecuación e igualar de ambas ecuaciones.

Desarrollamos

Resolvemos la cuadrática vía la fórmula general.

Ya tenemos las coordenadas , para obtener las coordenadas sustituimos en una de las ecuaciones, en este caso la más sencilla es

Entonces

Y así, los puntos de intersección son:

Por lo que la recta es secante a la parábola, como lo muestra la siguiente imagen

Parábola y recta secante representación gráfica

 

10 Calcular la posición relativa de la recta

respecto a la parábola

 

Para calcula la posición relativa entre ambos objetos necesitamos ver si existen puntos de intersección. Las coordenadas de dichos puntos deberían satisfacer ambas ecuaciones.

Para resolver el sistema, igualamos ambas ecuaciones y resolvemos para

Usando la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática de arriba, obtenemos que las soluciones son

Ya tenemos las coordenadas . Para obtener las coordenadas , sustituimos en una de las ecuaciones iniciales. Sustituimos en la segunda ecuación

Y así, los puntos de intersección son:

Por lo que la recta es secante a la parábola, como lo muestra la siguiente imagen

ejercicios de la parabola

Recuerda que también puedes encontrar clases de matematicas si necesitas una ayuda complementaria.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗