Resumen de ecuación de la hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

      relación

Elementos de la hipérbola:

1Focos: Son los puntos fijos F y F'.

2Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

3Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.

4Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

5Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

6Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.

7Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c.

8Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a.

9Eje menor:Es el segmento segmento de longitud 2b.

10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

11Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: rectas

12Relación entre los semiejes: igualdad

Excentricidad

La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.

     excentricidad

Ecuación reducida de la hipérbola

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

     F'(-c,0) y F(c,0)
     ecuación

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OY

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

     F'(0, -c) y F(0, c)
     ecuación

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro distinto al origen

Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0−c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:

     ecuación

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

     ecuación

Donde A y B tienen signos opuestos.

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY, y centro distinto al origen

Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y0+c) y F'(X0, y0−c). Y la ecuación de la hipérbola será:

     ecuación

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

     ecuación

Donde A y B tienen signos opuestos.

Ecuación de la hipérbola equilátera

Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto a = b. Y su ecuación es:

     ecuación

Las asíntotas tienen por ecuación:

      recta, recta

Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.

La excentricidad es: excentricidad

Ecuación de la hipérbole equilátera referida a sus asíntotas

Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de −45° alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como:

     ecuación

Si efectuamos un giro de 45° en los ejes, la hipérbola que queda en el segundo y cuarto cuadrante y su ecuación será:

     ecuación