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La elipse es una curva geométrica fascinante que se encuentra en muchos aspectos de la naturaleza y las ciencias. Desde la antigüedad, matemáticos y astrónomos han estudiado y apreciado la belleza y las propiedades únicas de esta figura.
En su forma más básica, una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, para los cuales la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Ecuación reducida de eje horizontal de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
y 
. Además cualquier punto 
sobre la elipse cumple que
.
Notemos que dicha expresión es equivalente a
.
Al desarrollar esta última expresión y resolviendo, tenemos que es equivalente a
.
en donde 
, como podemos observar en la imagen previa.
Ejemplo:Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: 
y 
, y su eje mayor mide 
.
Tenemos la siguiente gráfica de nuestro problema
Notemos que el centro de la elipse es el punto medio de los focos, esto es
así, el centro es el origen. Ahora, notemos que los focos están sobre el eje de las abscisas, por lo tanto, el eje mayor también lo está. También tenemos que 
es la mitad del eje mayor, por lo tanto 
, siendo el semieje mayor.
También tenemos que la mitad de la distancia focal 
es la distancia de cualquiera de los focos al centro de la elipse, 
.
Por último, podemos encontrar el semieje menor utilizando el semieje mayor y a , en donde el semieje menor cumple que , esto es
de donde se sigue que 
. Con esto, tenemos que la ecuación reducida de nuestra elipse es
.
Ecuación de eje horizontal de la elipse
Si el centro de la elipse 
y el eje principal es paralelo al eje de las abscisas (eje 
), los focos tienen de coordenadas 
y 
. Y la ecuación canónica de la elipse será
en donde y 
son los semiejes mayor y menor respectivamente. Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:
Donde 
y 
tienen el mismo signo. A esta última fórmula se le conoce como ecuación general de la elipse.
Ejemplo: Hallar la ecuación canónica de la elipse de foco 
, de vértice 
y de centro 
.
Primero, notemos que el eje mayor es paralelo al eje de las abscisas, esto lo podemos notar gracias al centro y uno de los focos, notemos que el foco simplemente se recorre a la derecha del centro de la elipse. Esto nos da por ahora la ecuación
Ahora, sabemos que es el semieje mayor. El semieje mayor es igual a la distancia entre el centro de la elipse y el vértice, por lo tanto
Además, tenemos que el semieje menor cumple que , en donde es la distancia del centro de la elipse al foco, por lo tanto
Así
Esto nos da la ecuación
Ejemplo: Hallar el centro, semiejes, vértices y focos de la elipse de ecuación
Dado que tenemos la ecuación en su forma canónica, tenemos que el centro es 
.
Para encontrar los semiejes, tenemos que cumple que 
, esto es 
y, además, 
, esto es . Notemos que es el semieje mayor al ser más grande que , por lo tanto es el semieje menor.
Ahora, notemos que dado que representa el semieje mayor, y este divide a la expresión 
entonces el eje mayor de la elipse es paralelo al eje de las abscisas, esto indica que los vértices están a unidades a la derecha y a unidades a la izquierda del centro, así, los vértices son 
y 
.
Por último, encontremos los focos. Tenemos que la mitad de la distancia focal (la distancia del centro de la elipse a cualquier de sus focos) se denota por y cumple que 
, dicho esto, tenemos que
.
Así, tenemos que 
y los focos son 
y 
.
Ecuación reducida de eje vertical de la elipse
Si el eje principal está sobre el eje de las ordenadas, se obtendrá la siguiente ecuación:
En donde las coordenadas de los focos son 
y 
.
Ejemplo: Hallar las coordenadas de los vértices, focos y la excentricidad de la elipse con ecuación reducida
Primero encontremos la mitad disstancia focal. Tenemos que la mitad de la distancia focal es y cumple que 
, entonces
,
esto nos dice que 
. Ahora que tenemos este valor, tenemos que los focos tienen coordenadas 
y 
.
Para enconcontrar los vértices, recordemos que estos se encuentran a unidades arriba y abajo del centro de la elipse, por lo tanto, dado que 
, tenemos que los vértices son 
y 
.
Por último, tenemos que la excentricidad de la elipse es igual a
.
Ecuación de eje vertical de la elipse
En general, si el centro de la elipse es (puede ser el origen o no) y el eje principal es paralelo al eje de las ordenadas (
), entonces los focos tienen coordenadas 
y 
y la ecuación de la elipse será:
Ejercicios
Dadas las ecuaciones generales de las siguientes elipses, escríbelas en forma canónica (o reducida), obtén las coordenadas de sus focos, vértices, calcula sus excentricidades y represéntalas gráficamente.
a 
b 
c 
d 
a
Para obtener la ecuación en su forma reducida simplemente necesitamos hacer uso de álgebra básica
Notemos que la última igualdad ya es la ecuación en su forma reducida. Dada dicha ecuación, es claro que el centro de la elipse es 
.
Además, de la ecuación, igual tenemos que el semieje mayor es 
y el semieje menor es 
. Además, como el semieje mayor divide al término de las 
, tenemos que el eje principal de la elipse es paralelo al eje de las abscisas. Dicho esto último, tenemos que el los vértices están a unidades a la derecha y a la izquierda del centro de la elipse teniendo coordenadas 
y 
.
Para obtener los focos, necesitamos calcular mitad de la distancia focal la cual cumple que , por lo tanto, tenemos que
Esta última igualdad nos dice que 
. Ahora, los focos están a unidades de distancia a la izquierda y a la derecha del centro de la elipse, por lo tanto tienen coordenadas 
y 
.
Por último, la excentricidad está dada por
La gráfica de la elipse es la siguiente
b
Para obtener la ecuación en su forma reducida simplemente necesitamos hacer uso de álgebra básica
Notemos que la última igualdad ya es la ecuación en su forma reducida. Dada dicha ecuación, es claro que el centro de la elipse es 
.
Además, de la ecuación, igual tenemos que el semieje mayor es 
y el semieje menor es 
. Además, como el semieje mayor divide al término de las 
, tenemos que el eje principal de la elipse es paralelo al eje de las ordenadas. Dicho esto último, tenemos que el los vértices están a unidades a arriba y abajo del centro de la elipse teniendo coordenadas 
y 
.
Para obtener los focos, necesitamos calcular la mitad de la distancia focal la cual cumple que , por lo tanto, tenemos que
Esta última igualdad nos dice que 
. Ahora, los focos están a unidades de distancia a la izquierda y a la derecha del centro de la elipse, por lo tanto tienen coordenadas 
y 
.
Por último, la excentricidad está dada por
La gráfica de la elipse es la siguiente
c
Para obtener la ecuación en su forma reducida simplemente necesitamos hacer uso de álgebra básica
Notemos que la última igualdad ya es la ecuación en su forma reducida. Dada dicha ecuación, es claro que el centro de la elipse es 
.
Además, de la ecuación, igual tenemos que el semieje mayor es 
y el semieje menor es 
. Además, como el semieje mayor divide al término de las , tenemos que el eje principal de la elipse es paralelo al eje de las abscisas. Dicho esto último, tenemos que el los vértices están a unidades a la derecha y a la izquierda del centro de la elipse teniendo coordenadas 
y 
.
Para obtener los focos, necesitamos calcular la mitad de la distancia focal la cual cumple que , por lo tanto, tenemos que
Esta última igualdad nos dice que 
. Ahora, los focos están a unidades de distancia a la izquierda y a la derecha del centro de la elipse, por lo tanto tienen coordenadas 
y 
.
Por último, la excentricidad está dada por
La gráfica de la elipse es la siguiente
d
Para obtener la ecuación en su forma reducida simplemente necesitamos hacer uso de álgebra básica
Notemos que la última igualdad ya es la ecuación en su forma reducida. Dada dicha ecuación, es claro que el centro de la elipse es 
.
Además, de la ecuación, igual tenemos que el semieje mayor es 
y el semieje menor es 
. Además, como el semieje mayor divide al término de las , tenemos que el eje principal de la elipse es paralelo al eje de las ordenadas. Dicho esto último, tenemos que el los vértices están a unidades arriba y abajo del centro de la elipse teniendo coordenadas 
y 
.
Para obtener los focos, necesitamos calcular la mitad de la distancia focal la cual cumple que , por lo tanto, tenemos que
Esta última igualdad nos dice que 
. Ahora, los focos están a unidades de distancia a la izquierda y a la derecha del centro de la elipse, por lo tanto tienen coordenadas 
y 
.
Por último, la excentricidad está dada por
La gráfica de la elipse es la siguiente
Hallar la ecuación de la elipse conociendo los siguientes datos:
a 
b 
c 
d 
a
Para resolver este ejercicio, primero notemos que podemos obtener fácilmente a que es la distancia entre el foco y el centro (distancia focal), por lo tanto 
. También notemos que es sencillo obtener el semieje mayor, ya que este es la distancia entre el vértice y el centro, por lo tanto . Por último, tenemos que el semieje menor lo podemos determinar a partir del semieje mayor y la distancia focal, esto ya que se cumple que , por lo tanto
Esto último nos dice que 
. Por último, recordemos que si los focos están a la derecha e izquierda del centro de la elipse, entonces el cuadrado del semieje mayor divide al término que involucra a 
, por otro lado, si los focos están por arriba o abajo del centro, entonces el cuadrado del semieje mayor divides al término que involucra a 
. Dicho todo esto, nuestra ecuación es
.
b
Para resolver este ejercicio, primero notemos que podemos obtener fácilmente a que es la distancia entre el foco y el centro (distancia focal), por lo tanto . También notemos que es sencillo obtener el semieje mayor, ya que este es la distancia entre el vértice y el centro, por lo tanto . Por último, tenemos que el semieje menor lo podemos determinar a partir del semieje mayor y la distancia focal, esto ya que se cumple que , por lo tanto
Esto último nos dice que . Por último, recordemos que si los focos están a la derecha e izquierda del centro de la elipse, entonces el cuadrado del semieje mayor divide al término que involucra a , por otro lado, si los focos están por arriba o abajo del centro, entonces el cuadrado del semieje mayor divides al término que involucra a . Dicho todo esto, nuestra ecuación es
.
c
Para resolver este ejercicio, primero notemos que podemos obtener fácilmente a que es la distancia entre el foco y el centro (la mitad de la distancia focal), por lo tanto 
. También notemos que es sencillo obtener el semieje mayor, ya que este es la distancia entre el vértice y el centro, por lo tanto . Por último, tenemos que el semieje menor lo podemos determinar a partir del semieje mayor y la distancia focal, esto ya que se cumple que , por lo tanto
Esto último nos dice que . Por último, recordemos que si los focos están a la derecha e izquierda del centro de la elipse, entonces el cuadrado del semieje mayor divide al término que involucra a , por otro lado, si los focos están por arriba o abajo del centro, entonces el cuadrado del semieje mayor divides al término que involucra a . Dicho todo esto, nuestra ecuación es
.
d
Para resolver este ejercicio, primero notemos que podemos obtener fácilmente a que es la distancia entre el foco y el centro (media distancia focal), por lo tanto . También notemos que es sencillo obtener el semieje mayor, ya que este es la distancia entre el vértice y el centro, por lo tanto . Por último, tenemos que el semieje menor lo podemos determinar a partir del semieje mayor y la distancia focal, esto ya que se cumple que , por lo tanto
Esto último nos dice que 
. Por último, recordemos que si los focos están a la derecha e izquierda del centro de la elipse, entonces el cuadrado del semieje mayor divide al término que involucra a , por otro lado, si los focos están por arriba o abajo del centro, entonces el cuadrado del semieje mayor divides al término que involucra a . Dicho todo esto, nuestra ecuación es
.
Escribe la ecuación reducida de la elipse cuyo centro es el origen, que pasa por el punto 
y cuyo eje menor (paralelo al eje de las ordenadas) mide 
.
El hecho de que el eje menor mida nos dice directamente que . Ahora, notemos que la elipse pasa por el punto , esto implica que para 
y 
se cumple la ecuación de la elipse, así, ya sustituyendo este punto y el valor de , únicamente necesitamos despejar a de la ecuación y encontrar su valor,
Esto nos da la ecuación
Sabemos que una elipse tiene su centro en el origen, la mitad de su distancia focal es . Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse si su eje mayor esta sobre el eje de las ordenadas.
El hecho de que la mitad de su distancia focal sea nos dice directamente que 
, o bien . Ahora, sabemos que la suma de las distancias de los focos a un punto siempre es 
, esto implica que
Ya que tenemos a y , podemos obtener a
Dado que el eje mayor de la elipse está sobre el eje de las ordenadas, tenemos que la ecuación está dada por
Determina la ecuación reducida de un elipse cuya distancia focal es 
y el área del rectángulo construidos sobre los ejes 
. Consideremos el eje mayor de la elipse paralela al eje de las abscisas.
Analicemos los datos que tenemos, primero, tenemos que la distancia focal es de , esto implica que 
y, por lo tanto, 
.
También tenemos que el área del rectángulo que contiene a la elipse es de 
, esta área es igual al eje mayor por el eje menor de la elipse, ya que esas son las medidas del los lados del rectángulo, además, el eje mayor de la elipse mide , mientras que el eje menor mide 
, esto indica que 
. Ahora, notemos que podemos despejar una variable en términos de la otra, en nuestro caso despejaremos 
.
También sabemos de la relación 
, pero ya tenemos el valor de y a , sustituyendo estos valores en la primera igualdad podremos obtener el valor de .
Las raíces del polinomio que encontramos son 
, notemos que como debe ser real y estrictamente positivo, la única solución que lo satisface es 
, sustituyendo estos valores en la primera igualdad podremos obtener el valor de , sustituiremos este valor en la igualdad para encontrar que . Ya que tenemos nuestros valores de los semiejes, procedemos a escribir la ecuación, como la elipse tiene eje mayor sobre el eje de las abscisas, tenemos que el término dividido por el cuadrado del semieje mayor es el que tiene a las , esto es
Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que uno de los vértices dista 
de un foco y 
del otro. Supongamos que la elipse tiene centro en el origen y eje mayor sobre el eje de las abscisas por simplicidad.
La siguiente imagen nos ayudará a entender las distancias mencionadas y como, a partir de ellas, calcular y , para finalmente poder calcular .
La distancia del vértice al foco más lejano es , mientras que la distancia al más cercano es , notemos que si a la distancia al foco más lejano le restamos la distancia al más cercano obtendremos la distancia foca, así, tendríamos que 
, o bien, 
. Por otro lado, notemos que si a la distancia del vértice al foco más lejano le sumamos la distancia al foco más cercado, obtendremos la distancia de un vértice al otro, por lo tanto, tendríamos que 
, o bien, 
. Una vez que tenemos estos, podemos calcular el cuadrado del semieje menor, ya que
.
Así, nuestra ecuación sería
.
Halla la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto 
y su excentricidad es 
. Supongamos que la elipse tiene centro en el origen y eje mayor sobre el eje de las abscisas por simplicidad.
Primero, tenemos que la excentricidad es 
, despejando tenemos 
. Por otro lado, dado que pasa por el punto , tenemos que dicho punto satisface la ecuación de la elipse, esto es
Notemos que ya tenemos el valor de y , además, sabemos que , sustituyamos estos valores de y y obtengamos
Ya podemos escribir nuestra ecuación
Escribe la ecuación de la elipse cuyo centro es 
, que pasa por el punto 
y cuyo eje mayor es (paralelo al eje de las abscisas) mide 
.
Como el centro no es el origen y el eje mayor es paralelo al eje de las abscisas, la ecuación es de la forma
El hecho de que el eje mayor mida nos dice directamente que . Ahora, notemos que la elipse pasa por el punto , esto implica que para 
y 
se cumple la ecuación de la elipse, así, ya sustituyendo este punto y el valor de , únicamente necesitamos despejar a de la ecuación y encontrar su valor,
Esto nos da la ecuación
Determina la ecuación de la elipse con centro en 
, distancia focal de 
, eje menor paralelo al eje de las abscisas y de longitud .
Como el centro no es el origen y el eje menor es paralelo al eje de las abscisas, la ecuación es de la forma
Analicemos los datos que tenemos, primero, tenemos que la distancia focal es de 
, esto implica que 
y, por lo tanto, 
.
También tenemos que la longitud del eje menor es de , esto implica que 
y, por lo tanto, 
También sabemos de la relación , pero ya tenemos el valor de y , sustituyendo estos valores en la primera igualdad podremos obtener el valor de .
Esto nos da la ecuación
Halla la ecuación de la elipse con centro en 
sabiendo que su excentricidad es 
, su eje mayor mide y es paralelo al eje de las abscisas.
Como el centro no es el origen y el eje mayor es paralelo al eje de las abscisas, la ecuación es de la forma
Tenemos que el eje mayor mide , esto implica que 
y, por lo tanto, 
.
Tenemos que la excentricidad es 
, despejando tenemos 
.
Notemos que ya tenemos el valor de y 
, además, sabemos que , sustituyamos estos valores de y y obtengamos
Ya podemos escribir nuestra ecuación
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Calcula la distancia focal de la elipse cuyos ejes miden 10 y 6 unidades
¿Cómo crees que estas formas geométricas pueden influir en el diseño arquitectónico contemporáneo?
determinar la ecuacion dela hiperbola c(4,3) semieje real 2 eje real paralelo de las absisas exentricidad 1,5
Hallar la ecuación de la hipérbola con c(4,3), semieje real 2, eje real paralelo a las absisas
Excentricidad e=1,5
Grafico
(0;0) foco(2;0) y uno de los ejes v(3;0)
Creo que hay un error en el ejercicio 21 ya que la distancia de un foco al vértice más cercano es c-a y la distancia del foco al más lejano es c+a, y así hacemos el sistema de ecuaciones:
c-a=2
c-a=50
c=26;a=24;b=10
Y así la ecuación sería
(X^2)/(24^2)+(Y^2)/(10^2)
Responderme porfavor si estoy equivocado
No, estas en lo correcto, felicidades.