Si el eje principal de una elipse está en el de ordenadas y además su centro se localiza en el origen, entonces se obtendrá la siguiente ecuación
con
La ecuación (1) se conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje vertical. Dicho lo anterior, se tiene la siguiente información de la elipse:
- El centro tiene coordenada
- Los vértices tienen coordenadas , , y .
- Se satisface la relación
- Los focos tienen coordenadas y
- El eje principal (o eje mayor) tiene longitud
- El eje menor tiene longitud
- La excentricidad de la elipse es
Ejemplos1. Dada la ecuación reducida de la elipse
hallar las coordenadas de los vértices, de los focos y la excentricidad.
Solución:
Aquí , y
Por lo tanto se tiene que
- Los vértices son: , , y
- Los focos son: y
- La excentricidad es
La elipse está representada en la siguiente figura.
2 Encontrar la ecuación de la elipse si se conoce que tiene focos en , y su eje principal tiene longitud .
Solución:
Dado que conocemos que los focos tienen coordenadas y , inmediatamente obtenemos que . Además, ya que el eje principal tiene longitud igual a , entonces tenemos la ecuación . Resolviendo para obtenemos que . Ahora, usando la ecuación
encontramos de la siguiente manera:
Luego, substituyendo los valores de y , concluimos que
Así, substituyendo los valores de y en la ecuación (1) , concluimos que la ecuación de la elipse que buscamos es
3 Dados los vértices y , y que la longitud del eje principal es igual a , encontrar los vértices restantes, los focos, la excentricidad y finalmente la ecuación de la elipse con esta información.
Solución:
Ya que los vértices tienen coordenadas y , sabemos que . De igual manera, dado que el eje principal tiene una longitud de , obtenemos la ecuación . Resolviendo para , obtenemos que .
Solo resta encontrar el valor de . Para esto, solo debemos substituir los valores de y de la siguiente manera:
Por lo tanto, con los valores de , y tenemos que
- Los vértices restantes son y .
- Los focos tienen coordenadas en y
- La excentricidad es
- Finalmente, la ecuación de la elipse es
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
encuentra en las coordenadas de los vértices y de los focos las longitudes de los ejes mayor y menor la distancia focal la longitud de cada uno de los lados rectos y la excentricidad de cada una de las elipses cuyas ecuaciones se dan a continuacion x^2/ 25+y^2/9=1
Halla la ecuacion de la parabola ordinaria general con elementos si su vertice está en (4,5) y su foco (7,5)
Dada la ecuación de la parábola. X2-8x-10y-4. Transformala en su forma ordinaria y comprueba su grafica con la de la figura
Determine si la gráfica de cada uno de las siguientes ecuaciones es una circunferencia,un punto o el conjunto vacío; si es la gráfica de una circunferencia dé el centro y el radio .
6×2+6y2-14x+7y-20=0
X2+y2+4x-2y+10=0
X2+y2+18x-20y+100=0
3×2+3y2-x-2y-1=
¿Cómo los puedo citar?
Puedes citar al grupo Superprof directamente 🙂
Una parábola horizontal con vértice en el origen pasa por el punto A(2,6)
Hallar la ecuación y elaborar la grafica
Qué condiciones debe cumplir «A» para que la ecuación: x2 + y2 + Ax – Ay – A2 = 0 tenga como gráfica una circunferencia? Dé las coordenadas del centro y el valor del radio.
Circunferencia con origen en P (10, 10) y radio 20
Circunferencia con origen en P (-15, 30) y radio 1. c)
Circunferencia que pasa por los puntos (3, 7) (-9, 1) (-8, 5).
Circunferencia que pasa por los puntos (0, -14) (0, 1) (5, -7).