Si el eje principal de una elipse está en el de ordenadas y además su centro se localiza en el origen, entonces se obtendrá la siguiente ecuación

con

Ecuación de la elipse de eje vertical
Figura 1. Representación de la elipse de eje vertical.

La ecuación (1) se conoce como la ecuación reducida de la elipse de eje vertical. Dicho lo anterior, se tiene la siguiente información de la elipse:

  • El centro tiene coordenada
  • Los vértices tienen coordenadas , , y .
  • Se satisface la relación
  • Los focos tienen coordenadas y
  • El eje principal (o eje mayor) tiene longitud
  • El eje menor tiene longitud
  • La excentricidad de la elipse es

 

Ejemplos1. Dada la ecuación reducida de la elipse
hallar las coordenadas de los vértices, de los focos y la excentricidad.

Solución:

Aquí , y

Por lo tanto se tiene que

  • Los vértices son: , , y
  • Los focos son: y
  • La excentricidad es

La elipse está representada en la siguiente figura.

Ecuación de la elipse de eje vertical
Figura 2. Representación de la elipse del Ejemplo 1.

 

2 Encontrar la ecuación de la elipse si se conoce que tiene focos en , y su eje principal tiene longitud .

Solución:

Dado que conocemos que los focos tienen coordenadas y , inmediatamente obtenemos que . Además, ya que el eje principal tiene longitud igual a , entonces tenemos la ecuación . Resolviendo para obtenemos que . Ahora, usando la ecuación
encontramos de la siguiente manera:

Luego, substituyendo los valores de y , concluimos que

Así, substituyendo los valores de y en la ecuación (1) , concluimos que la ecuación de la elipse que buscamos es

Ecuación de la elipse de eje vertical
Figura 3.Representación geométrica de la elipse del Ejemplo 2.

 

3 Dados los vértices y , y que la longitud del eje principal es igual a , encontrar los vértices restantes, los focos, la excentricidad y finalmente la ecuación de la elipse con esta información.

Solución:

Ya que los vértices tienen coordenadas y , sabemos que . De igual manera, dado que el eje principal tiene una longitud de , obtenemos la ecuación . Resolviendo para , obtenemos que .

Solo resta encontrar el valor de . Para esto, solo debemos substituir los valores de y de la siguiente manera:

Por lo tanto, con los valores de , y tenemos que

  • Los vértices restantes son y .
  • Los focos tienen coordenadas en y
  • La excentricidad es
  • Finalmente, la ecuación de la elipse es

Ecuación de la elipse de eje vertical
Figura 4. Representación de la elipse del Ejemplo 3.

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00 (6 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗