En este artículo se construye, analiza y presenta la ecuación reducida de la elipse. Para lo anterior, primero consideremos una elipse con centro en el origen de coordenadas del plano cartesiano y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas, de tal manera que tenemos una construcción como la siguiente:
De tal manera que utilizando la fórmula de distancia para dos puntos en el plano cartesiano tenemos lo siguiente:
Sustituimos utilizando las coordenadas de los focos:
Después, reacomodando y desarrollando la ecuación anterior obtenemos lo siguiente:
Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad:
Desarrollando:
Cancelando y agrupando términos, tenemos:
Elevando al cuadrado ambos lados y desarrollando tenemos:
Simplificando:
.
Utilizando que podemos reescribir la relación de la siguiente manera:
.
Dividimos, ambos lados de la igualdad por y obtenemos la ecuación reducida de la elipse:
Ejercicio
Calcular los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse que tiene como focos las coordenadas: y , y su eje mayor mide .
1 Semieje mayor:
Para calcularlo, utilicemos que el eje mayor mide unidades, como el eje mayor es veces el semieje mayor tenemos la siguiente relación:
.
2 Semidistancia focal:
Para calcular la semidistancia focal, notemos que la distancia del centro a es y la distancia del centro a también, de tal manera que tenemos la siguiente relación:
3 Semieje menor:
Para calcular el semieje menor, utilicemos la relación , donde representa la longitud del semieje menor:
4 Ecuación reducida:
Sustituyendo en la expresión de la ecuación reducida de la elipse:
5 Excentricidad:
Para calcular la excentricidad recordemos que esta se obtiene del cociente de la distancia del semieje focal y la longitud del semieje mayor, de tal manera que tenemos la siguiente relación:
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
encuentra en las coordenadas de los vértices y de los focos las longitudes de los ejes mayor y menor la distancia focal la longitud de cada uno de los lados rectos y la excentricidad de cada una de las elipses cuyas ecuaciones se dan a continuacion x^2/ 25+y^2/9=1
Halla la ecuacion de la parabola ordinaria general con elementos si su vertice está en (4,5) y su foco (7,5)
Dada la ecuación de la parábola. X2-8x-10y-4. Transformala en su forma ordinaria y comprueba su grafica con la de la figura
Determine si la gráfica de cada uno de las siguientes ecuaciones es una circunferencia,un punto o el conjunto vacío; si es la gráfica de una circunferencia dé el centro y el radio .
6×2+6y2-14x+7y-20=0
X2+y2+4x-2y+10=0
X2+y2+18x-20y+100=0
3×2+3y2-x-2y-1=
¿Cómo los puedo citar?
Puedes citar al grupo Superprof directamente 🙂
Una parábola horizontal con vértice en el origen pasa por el punto A(2,6)
Hallar la ecuación y elaborar la grafica
Qué condiciones debe cumplir «A» para que la ecuación: x2 + y2 + Ax – Ay – A2 = 0 tenga como gráfica una circunferencia? Dé las coordenadas del centro y el valor del radio.
Circunferencia con origen en P (10, 10) y radio 20
Circunferencia con origen en P (-15, 30) y radio 1. c)
Circunferencia que pasa por los puntos (3, 7) (-9, 1) (-8, 5).
Circunferencia que pasa por los puntos (0, -14) (0, 1) (5, -7).