En este artículo se construye, analiza y presenta la ecuación reducida de la elipse. Para lo anterior, primero consideremos una elipse con centro en el origen de coordenadas del plano cartesiano y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas, de tal manera que tenemos una construcción como la siguiente:

Representación geométrica de una elipse centrada en el origen
Cuyas coordenadas de los focos son: y .De tal manera, que cualquier punto de la elipse satisface lo siguiente:

De tal manera que utilizando la fórmula de distancia para dos puntos en el plano cartesiano tenemos lo siguiente:

Sustituimos utilizando las coordenadas de los focos:

Después, reacomodando y desarrollando la ecuación anterior obtenemos lo siguiente:

Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad:

Desarrollando:

Cancelando y agrupando términos, tenemos:

Elevando al cuadrado ambos lados y desarrollando tenemos:

Simplificando:

.

Utilizando que podemos reescribir la relación de la siguiente manera:

.

Dividimos, ambos lados de la igualdad por y obtenemos la ecuación reducida de la elipse:

Ejercicio

Calcular los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse que tiene como focos las coordenadas: y , y su eje mayor mide .

Representación geométrica de una elipse con valores y componentes específicos

1 Semieje mayor:

Para calcularlo, utilicemos que el eje mayor mide unidades, como el eje mayor es veces el semieje mayor tenemos la siguiente relación:

.
2 Semidistancia focal:

Para calcular la semidistancia focal, notemos que la distancia del centro a es y la distancia del centro a   también, de tal manera que tenemos la siguiente relación:


3 Semieje menor:

Para calcular el semieje menor, utilicemos la relación , donde representa la longitud del semieje menor:

4 Ecuación reducida:

Sustituyendo en la expresión de la ecuación reducida de la elipse:

5 Excentricidad:

Para calcular la excentricidad recordemos que esta se obtiene del cociente de la distancia del semieje focal y la longitud del semieje mayor, de tal manera que tenemos la siguiente relación:

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗