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Vamos

Encontrar la ecuación de la elipse

 

Antes de resolver los ejercicios, puedes leer el resumen sobre las propiedades de la elipse y su ecuación.

 

1 Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijos  y  sea igual a .

 

Buscamos que la suma de las distancias y sea siempre igual a , es decir,

 

 

Por lo tanto, tenemos que,

 

 

Si despejamos una raíz, se obtiene

 

 

Luego, elevando al cuadrado, tenemos que

 

 

Observemos que el término  se encuentra a ambos lados de la ecuación. Por tanto, podemos cancelarlo, de manera que nos queda

 

 

Si expandimos los dos binomios al cuadrado, tendremos que,

 

 

Luego, reagrupando términos semejantes dividiendo la ecuación por —, tenemos

 

 

Ya nos deshicimos de un radical. Para deshacernos del otro repetimos el procedimiento. Elevamos al cuadrado la expresión, expandemos los binomios al cuadrado y reagrupamos términos:

 

 

es decir,

 

 

 

 

2 Hallar la ecuación de la elipse de foco , de vértice y de centro .

 

Sabemos que el semieje mayor es la distancia entre el centro y el vértice , es decir,

 

 

Asimismo, la semidistancia focal es la distancia entre el centro y el foco de la elipse —que es la mitad de la distancia entre los dos focos—, esto es,

 

 

Por último, el semieje menor se calcula mediante

 

 

Así, la ecuación reducida de la elipse está dada por

 

 

La gráfica de la elipse es la siguiente:

 

 

3 Halla la ecuación de la elipse conociendo que:

 

 

Describiremos detalladamente el primer inciso. Los demás estarán más resumidos.

 

Sabemos que el semieje mayor es la distancia entre el centro y el vértice , es decir,

 

 

Asimismo, la semidistancia focal es la distancia entre el centro y el foco de la elipse —que es la mitad de la distancia entre los dos focos—, esto es,

 

 

Por último, el semieje menor se calcula mediante

 

 

Así, la ecuación reducida de la elipse está dada por

 

 

 

Tenemos que,

 

 

Por tanto, el semieje menor está dado por,

 

 

Así, la ecuación reducida de la elipse es:

 

 

Observemos que, en este caso, dividimos por en lugar de . Esto se debe a que el eje mayor es vertical (observemos que tanto , y tienen mismo valor en su coordenada ).

 

 

Observemos que las coordenadas de los tres puntos es la misma. Por lo tanto, el eje mayor es vertical. Así, tenemos que

 

 

Por tanto, el semieje menor está dado por,

 

 

Así, la ecuación reducida de la elipse es:

 

 

 

Notemos ahora que son las coordenadas las que se encuentran fijas en cada punto. De este modo, el eje mayor de la elipse será horizontal. Así, tenemos que

 

 

Además,

 

 

Por lo tanto, la ecuación reducida será

 

 

 
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4 Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que el eje mayor es horizontal, uno de los focos dista de un vértice y del otro, y cuyo centro se encuentra en el origen.

 

Observa la gráfica de abajo:

 

representación gráfica de la distancia entre focos

 

Sabemos que la distancia focal debe ser . De este modo, la semidistancia focal es,

 

 

La cual es la distancia del centro a cualquier foco. De este modo, la distancia entre el centro y el vértice es

 

 

Con esto, tenemos que

 

 

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es

 

 

 

5 Halla la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto , tiene centro en el origen, el eje mayor es horizontal y su excentricidad es .

 

La ecuación de la elipse debe tener la forma

 

 

debido a que tiene su centro en el origen. Además, tenemos que la elipse pasa por el punto . De este modo, se debe satisfacer que

 

 

Si despejamos , se tiene que . Luego, debido a que , se sigue que,

 

 

Además, en la fórmula de la excentricidad se debe cumplir que

 

 

Si elevamos al cuadrado la ecuación, se sigue que

 

 

Multiplicamos la ecuación por , y luego por para obtener

 

 

Al agrupar términos semejantes, se obtiene

 

 

Es decir, . Por lo tanto, la ecuación de la elipse es

 

 

 

6 Escribe la ecuación reducida de la elipse con centro en el origen, que pasa por el punto y cuyo eje menor mide y este es vertical.

 

Como la elipse tiene centro en el origen, entonces su ecuación debe tener la forma

 

 

Además, como el eje menor mide , entonces la semieje menor es

 

 

Luego, como la elipse pasa por el punto , entonces debe satisfacer la ecuación

 

 

Despejando se tiene que

 

 

De manera que

 

 

Así, la ecuación de la elipse es

 

 

 

7 La distancia focal de una elipse con centro en el origen es y los focos se encuentran sobre el eje x. Un punto de la elipse dista de sus focos y , respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.

 

Tenemos que la distancia focal es . Por tanto, la semidistancia focal es

 

 

Asimismo, la suma de las distancias de cualquier punto hacia los focos siempre es constante. Esta distancia coincide con el eje mayor, de manera que

 

 

Finalmente, el semieje menor mide

 

 

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es

 

 

 

8 Escribe la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos sobre el eje x, y que pasa por los puntos y .

 

Como la elipse pasa por ambos puntos, entonces debe satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones

 

 

Este es un sistema no lineal con dos incógnitas (en el enlace se muestra cómo resolverlos). En este caso, utilizamos un cambio de variable

 

 

La solución de este sistema es

 

 

Para verificarlo, puedes sustituir los valores de y en el sistema no lineal original.

 

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es,

 

 

 

9 Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen, cuya distancia focal es , focos sobre el eje x, y el área del rectángulo construido sobre los ejes es .

 

La distancia focal es . Por lo tanto, tenemos que,

 

 

Asimismo, los semiejes menor y mayor satisfacen que —la relación que siempre cumplen , y

 

 

Por otro lado, tenemos un rectángulo cuyos lados miden y . Este rectángulo tiene un área dada por

 

 

Por lo tanto, se debe resolver el siguiente sistema no lineal de ecuaciones:

 

Este sistema no lineal se puede resolver despejando de la segunda ecuación y sustituyendo su valor en la primera ecuación. Así se obtiene una ecuación bicuadrada. La solución al sistema está dada por

 

 

Por lo tanto, la ecuación de la elipse es

 

 

 
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Encontrar elementos a partir de la ecuación

 

10 Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos:  y , y su eje mayor mide .

 

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos:  y , y su eje mayor mide .

 

representación gráfica de la elipse con triangulo circunscrito

 

  • Semieje mayor:

 

Tenemos que , por lo tanto, el semieje mayor es .

 

  • Semidistancia focal:

 

Aquí tenemos que la distancia entre los dos focos es . Por lo tanto, la semidistancia focal es .

 

  • Semieje menor:

 

Tenemos que donde es el semieje menor. De este modo,

 

 

Así, el semieje menor mide .

 

  • Ecuación reducida:

 

Ya que tenemos los valores de y , así como del centro —que es el punto medio de los focos, es decir —, entonces la ecuación reducida está dada por

 

 

  • Excentricidad:

 

Por último, la excentricidad de la elipse está dada por

 

 

 

11 Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices, los covértices, los focos y la excentricidad.

 

De la forma de la ecuación, podemos saber que la elipse tiene centro en el origen. Además, se tiene que

 

 

De este modo los vértices tienen coordenadas

 

 

ya que el eje mayor se encuentra sobre el eje . Los covértices se encuentran en

 

 

Asimismo, tenemos que la semidistancia focal es

 

 

De este modo, los focos se encuentran en

 

 

Finalmente, la excentricidad se encuentra mediante

 

 

 

12 Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices, covértices y focos.

 

De la ecuación se sigue inmediatamente que el centro se encuentra en . Asimismo, los semiejes menor y mayor son

 

 

Por lo tanto,

 

 

De este modo, los vértices se encuentran en , es decir

 

 

Asimismo, los focos se encuentran en

 

 

Los covértices se encuentran en los puntos

 

 

 
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13 Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, los vértices, los covértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

 

 

 

El centro se encuentran en el origen. Los semiejes menor y mayor son

 

 

De esta manera, los vértices se encuentran en

 

 

Los covértices se encuentran en los puntos

 

 

La semidistancia focal es

 

 

Por lo que los focos se encuentran en

 

 

Finalmente, la excentricidad es

 

 

representación gráfica de la elipse

 

 

Primero debemos escribir la ecuación en su forma reducida, por lo que dividimos por :

 

 

Luego, se la ecuación se sigue que el centro está en el origen , y que

 

 

Por lo que los vértices se encuentran en

 

 

y los covértices se encuentran en

 

 

Además, la semidistancia focal es

 

 

Así, los focos se encuentran en

 

 

Finalmente, la excentricidad está dada por

 

 

representación grafica de la elipse

 

 

La ecuación ya se encuentra de forma reducida. A partir de esta ecuación se puede apreciar que el centro se encuentran en . Además, los semiejes menor y mayor están dados por

 

 

La semidistancia focal está dada por

 

 

Observemos que el eje mayor está sobre el eje . De este modo, los vértices se encuentran en

 

 

Los covértices se encuentran en,

 

 

Y los focos son los puntos,

 

 

Finalmente, la excentricidad está dada por

 

 

elipse 4

 

 

Por último, tenemos una ecuación que no está en su forma reducida. Dividimos primero por para obtener

 

 

A partir de la ecuación tenemos que

 

 

Además, observemos que el eje mayor se encuentra sobre el eje . De este modo, los vértices se encuentran en

 

 

Los covértices son los puntos

 

 

Y los focos están localizados en

 

 

Por último, la excentricidad es

 

 

elipse 5

 

 

14 Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, los vértices y los covértices de las siguientes elipses.

 

 

 

Para determinar los puntos importantes de la elipse, debemos escribir su ecuación de forma reducida. La forma de hacer esto es completando el cuadrado:

 

 

Luego, dividimos por ,

 

 

De este modo, se claro ver que el centro se encuentra en . Además, se puede apreciar que

 

 

Asimismo, el eje mayor es horizontal, por lo que los vértices se encuentran en

 

 

Los covértices se encuentran en

 

 

Y los focos se encuentran en

 

 

representacion elipse dibujo

 

 

Completamos el cuadrado de nuevo:

 

 

Luego, dividimos por ,

 

 

De este modo, se claro ver que el centro se encuentra en . Además, se puede apreciar que

 

 

Asimismo, el eje mayor es vertical, por lo que los vértices se encuentran en

 

 

Los covértices se encuentran en

 

 

Y los focos se encuentran en

 

 

dibujo de una elipse

 

 

Completamos el cuadrado de nuevo:

 

 

Luego, dividimos por ,

 

 

De este modo, se claro ver que el centro se encuentra en . Además, se puede apreciar que

 

 

Asimismo, el eje mayor es horizontal, por lo que los vértices se encuentran en

 

 

Los covértices se encuentran en

 

 

Y los focos se encuentran en

 

 

dibujo o grafica de elipse

 

 

Completamos el cuadrado de nuevo:

 

 

Luego, dividimos por ,

 

 

De este modo, se claro ver que el centro se encuentra en . Además, se puede apreciar que

 

 

Asimismo, el eje mayor es vertical, por lo que los vértices se encuentran en

 

 

Los covértices se encuentran en

 

 

Y los focos se encuentran en

 

 

dibujo de elipse y representacion grafica de focos

 

 

15 Encuentra las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta la recta con la elipse cuya ecuación es .

 

Observa primero la gráfica de la recta y la elipse:

 

representacion grafica de la elipse y recta

 

A partir de la figura podemos deducir que debemos encontrar las coordenadas de los puntos y . Luego, será el punto medio de estos dos.

 

Encontrar las coordenadas de y es equivalente a resolver el sistema no lineales de ecuaciones dado por

 

 

Este sistema también se resuelve por sustitución. Las soluciones están dadas por,

 

 

Por lo tanto, el punto medio de la cuerda está dado por

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗