Bienvenido al apasionante mundo de la elipse, una figura geométrica que ha cautivado a matemáticos y científicos durante siglos. En esta colección de ejercicios y problemas, explorarás los secretos y propiedades de la elipse.

La elipse es mucho más que una simple forma ovalada. Es una curva con propiedades únicas que la hacen indispensable en diversas áreas del conocimiento. A través de estos desafíos, te adentrarás en el estudio de su ecuación, sus elementos característicos como los focos y vértices, y las relaciones entre sus diferentes parámetros.

Ya seas un estudiante que recién se introduce en el mundo de la elipse o un entusiasta de las matemáticas que busca desafíos más complejos, esta colección te brindará una base sólida para comprender y aplicar los principios de la elipse en diversas situaciones. ¡Prepárate para afinar tu pensamiento analítico!

 

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Vamos

Elementos de la elipse

 

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

 

1

1 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

 

2 Eje menor

 

Entonces el valor del semieje menor es

 

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

 

3 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

 

Y con éste, localizar los focos

 

 

4 Excentricidad

 

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

 

 

5 Gráfica

 

representación gráfica de la elipse

 

 

2

1 Obtener ecuación canónica

 

 

2 Eje mayor

 

Obtenemos el valor del semieje mayor

 

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

 

3 Eje menor

 

Entonces el valor del semieje menor es

 

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

 

4 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

 

Y con éste, localizar los focos

 

 

5 Excentricidad

 

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

 

 

6 Gráfica

 

 gráfica de la elipse

 

 

3

1 Eje mayor

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

 

2 Eje menor

 

Entonces el valor del semieje menor es

 

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

 

3 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

 

Y con éste, localizar los focos

 

 

4 Excentricidad

 

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

 

 

5 Gráfica

 

grafica de una elipse

 

4

1 Obtener ecuación canónica

 

 

2 Eje mayor

 

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

 

3 Eje menor

 

Entonces el valor del semieje menor es

 

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

 

4 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

 

Y con éste, localizar los focos

 

 

5 Excentricidad

 

La excentricidad es igual al cociente de la distancia semifocal y el semieje mayor

 

 

6 Gráfica

grafica de una elipse dibujo

 

5

1 Obtener ecuación canónica

 

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

 

 

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

 

 

Dividimos todo por 4

 

 

2 Centro

 

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

 

 

3 Eje mayor

 

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

 

4 Eje menor

 

El valor del semieje menor es

 

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

 

5 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

 

Y con éste, localizar los focos

 

 

6 Gráfica

 

grafica de elipse con focos

 

6

1 Obtener ecuación canónica

 

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

 

 

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

 

 

Dividimos todo por 225

 

 

2 Centro

 

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

 

 

3 Eje mayor

 

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

 

4 Eje menor

 

El valor del semieje menor es

 

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

 

5 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

 

Y con éste, localizar los focos

 

 

6 Gráfica

 

dibujar graficamente la elipse y sus focos

 

7

 

1 Obtener ecuación canónica

 

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

 

 

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

 

 

Dividimos todo por 12

 

 

2 Centro

 

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

 

 

3 Eje mayor

 

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

 

4 Eje menor

 

El valor del semieje menor es

 

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

 

5 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

 

Y con éste, localizar los focos

 

 

6 Gráfica

 

grafica de los elementos de la elipse

 

8

1 Obtener ecuación canónica

 

 

Completamos el trinomio al cuadrado perfecto

 

 

Cambiamos los trinomios por los binomios al cuadrado

 

 

Dividimos todo por 9

 

 

2 Centro

 

A partir de la ecuación de la elipse canónica encontramos el centro

 

 

3 Eje mayor

 

La ecuación de la elipse ya está en forma canónica por lo que procedemos a obtener el valor del semieje mayor

 

 

Y así encontrar los vértices que forman el eje mayor

 

 

4 Eje menor

 

El valor del semieje menor es

 

 

Por lo tanto, los vértices que se encuentran en el eje menor son

 

 

5 Focos

 

Finalmente calculamos el valor de la distancia semifocal

 

 

Y con éste, localizar los focos

 

 

6 Gráfica

 

grafica de la elipse y sus focos

 

&nbsp

Ecuación de la elipse

 

9 Halla la ecuación de la elipse conociendo:

1

 

El valor de es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de es la distancia del centro al foco, entonces

 

 

Los valores , y guardan una relación pitagórica, es decir

 

Despejamos para calcular el valor de

 

 

 

Concluímos que

 

 

2

 

El valor de es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de es la distancia del centro al foco, entonces

 

 

Los valores , y guardan una relación pitagórica, es decir

 

Despejamos para calcular el valor de

 

 

 

Concluímos que

 

 

3

 

El valor de es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de es la distancia del centro al foco, entonces

 

 

Los valores , y guardan una relación pitagórica, es decir

 

Despejamos para calcular el valor de

 

 

 

Concluímos que

 

 

4

 

El valor de es la distancia del centro al vértice A, mientras que el valor de es la distancia del centro al foco, entonces

 

 

Los valores , y guardan una relación pitagórica, es decir

 

Despejamos para calcular el valor de

 

 

 

Concluímos que

 

 

10 Escribe la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen que pasa por el
punto y cuyo eje menor mide y se encuentra sobre el eje .

El eje menor mide

 

 

Tiene centro en el origen y el eje menor está sobre el eje Y, por lo que la ecuación canónica es del tipo

 

Como el punto (2,1) pertence a la elipse, sus coordenadas cumplen con la ecuación canónica

 

 

Despejamos para obtener el valor de

 

 

Conociendo los valores de y , concluimos que

 

 

11 La distancia focal de una elipse con centro en el origen es . Un punto de la elipse dista de sus focos y , respectivamente. Calcular la ecuación canónica de dicha elipse si el eje mayor está sobre el eje .

La distancia focal es igual al valor de

 

 

Recordemos que la suma de las distancia de un punto en la elipse a los focos es igual a

 

 

Los valores , y guardan una relación pitagórica, es decir

 

 

Despejamos para calcular el valor de

 

 

 

Conociendo los valores de y , concluimos que

 

 

12 Escribe la ecuación canónica de la elipse que pasa por los puntos:

Como pasa por los puntos: , entonces sus coordenadas cumplen la ecuación canónica de la elipse. Esto es

 

Resolvemos el sistema

 

 

Entonces

 

 

Despejamos

 

 

Finalmente

 

 

13 Determina la ecuación canónica de un elipse con centro en el origen y eje mayor en el eje , cuya distancia focal es y el área del rectángulo con lados que midan lo mismo que los ejes (mayor y menor) es .

Como los lados del rectángulo son los ejes, y estos miden y entonces

 

La distancia focal es igual a

 

 

Los valores , y guardan una relación pitagórica, es decir

 

Esto nos conduce a tener un sistema de dos ecuaciones

 

 

De la primera ecuación despejamos y de la segunda

 

 

Usamos de la segunda ecuación para sustituir en la primera

 

 

Desarrollamos

 

 

Resolvemos con la fórmula general y obtenemos el valor de

 

Conociendo los valores de y , concluimos que

 

Coordenadas de cuerdas de la elipse

 

14 Hallar las coordenadas de la cuerda que intercepta
la recta: en la elipse de ecuación: .

1 Encontrar puntos de intersección

Los puntos de intersección son los que resuelven el sistema de las ecuaciones de la recta y la elipse.

 

 

Para resolver podemos despejar de la primera ecuación y elevar al cuadrado. También despejamos de la segunda ecuación

 

 

Igualamos ambas ecuaciones

 

 

Usamos la fórmula general para encontrar las soluciones

 

 

Las soluciones para la coordenada son

 

 

Las coordenadas se calculan usando alguna ecuación del sistema, en este caso usaremos

 

Así que los puntos de interección están dados por

 

15 Hallar las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta
la recta: en la elipse de ecuación: .

1 Encontrar puntos de intersección

Los puntos de intersección son los que resuelven el sistema de las ecuaciones de la recta y la elipse.

 

 

Para resolver podemos despejar de la primera ecuación y elevar al cuadrado. También despejamos de la segunda ecuación

 

 

Igualamos ambas ecuaciones

 

 

Usamos la fórmula general para encontrar las soluciones

 

 

Las soluciones para la coordenada son

 

 

Las coordenadas se calculan usando alguna ecuación del sistema, en este caso usaremos

 

Así que los puntos de interección están dados por

2 Encontrar punto medio

 

El punto medio entre los puntos A y B está dado por

 

Grafica de la elipse y su cuerda

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗