En este artículo resolveremos ejercicios de la ecuación de la circunferencia los cuales ejemplifican cómo encontrar dicha ecuación dada información a priori de la circunferencia. Por ejemplo, dado el vértice, radio, diámetro, puntos de corte con los ejes, tangencia a los ejes, etcétera. También, trataremos los casos donde dada la ecuación de la circunferencia necesitamos extraer información precisa sobre ella como su vértice, radio, puntos de corte con los ejes, tangencia, etcétera.
Los siguientes ejercicios resueltos nos ayudarán a profundizar en los elementos de la circunferencia y pondrán a prueba nuestros conocimientos sobre ella.
y radio 
. 
y radio 
.1 Sustituimos los datos en la ecuación ordinaria de la circunferencia:
donde:
son las coordenadas del centro y 
es el radio.
2 Dada la circunferencia de ecuación 
, hallar el centro y el radio.
, hallar el centro y el radio.Convertiremos la ecuación general a la forma ordinaria ; para ello seguimos los siguientes pasos:1 Reescribimos la ecuación ordenando las
e 
y completamos los trinomios cuadrados perfectos 
2 Factorizamos los trinomios cuadrados perfectos
y 
3 Determina las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias:
A 
B 
C 
D 
A
Reescribimos la ecuación en su forma ordinaria: 
y 
B
y 
Ya que es imaginario, no es una circunferencia real
C
Dividiendo por 4 y reescribiendo la ecuación en forma ordinaria:
y
D
Dividiendo por 4 y reescribiendo la ecuación en forma ordinaria:
y
4 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en 
y es tangente al eje de abscisas.
y es tangente al eje de abscisas.1 Graficamos la circunferencia con los datos dados:
2 A partir de la gráfica podemos deducir que
5 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en 
y es tangente al eje de ordenadas.
y es tangente al eje de ordenadas.1 Graficamos la circunferencia con los datos dados:
2 A partir de la gráfica podemos deducir que
6 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas 
, 
, y su radio es igual a 
.
, , y su radio es igual a .1 Planteamos un sistema de ecuaciones con las rectas dadas, la solución del sistema de ecuaciones corresponde al centro de la circunferencia
2 Sustituimos y en la forma ordinaria
7 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación 
, y que pasa por el punto 
.
, y que pasa por el punto .1 Por ser concéntricas tienen el mismo centro:
2 Calculamos el centro de la circunferencia
3 Para calcular el radio calculamos la distancia de 
a
4 Sustituimos el centro y el radio en la forma ordinaria
8 Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto 
y es tangente a la recta: 
.
y es tangente a la recta: . 1 El radio se calcula con la distancia del punto a la recta
2 Sustituimos y en la forma ordinaria
9 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 
.
.1 Considerando la ecuación general de una circunferencia como
, sustituimos los puntos dados y construimos un sistema de ecuaciones:
2 Resolvemos el sistema de ecuaciones y sustituimos en la forma general considerada:
10 Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: 
.
.
1 Considerando que los vértices del triángulo son puntos por los que pasa la circunferencia, podemos considerar la ecuación de la circunferencia como
y sustituir los puntos dados: 
2 Resolvemos el sistema de ecuaciones y sustituimos en la forma general considerada:
11 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 
y 
y tiene su centro sobre la recta: 
.
y y tiene su centro sobre la recta .
1 Consideremos que el punto 
es el centro de la circunferencia y se encuentra sobre la recta , podemos plantear el sistema:
2 De las primeras 2 ecuaciones obtenemos:
3 Resolviendo el sistema:
12 Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 
, cuyo radio es 
y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
, cuyo radio es y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
1 Consideremos que el punto es el centro de la circunferencia, además, la bisectriz del primer y tercer cuadrante es la recta 
:
2 Obtenemos 2 soluciones para 
:
3 Para
4 Para
13 Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos 
y 
. ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?
y 
. ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?
1 El radio de la circunferencia será la mitad de la distancia entre los puntos 
y 
:
2 El centro de la circunferencia se encontrará en el punto medio entre los puntos y :
3 Obtenemos los coeficientes 
y para la forma
14 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia 
que sea tangente a la recta 
.
que sea tangente a la recta .
: 
2 El radio será la distancia entre y la recta :
3 Obtenemos los coeficientes y para la forma
15Calcula la posición relativa de la circunferencia 
y la recta 
.
y la recta .
1 Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones
Al haber dos puntos de intersección, podemos decir que la recta y la circunferencia son secantes
16 Estudiar la posición relativa de la circunferencia
con las rectas:
A 
B 
C 
con las rectas: A 
Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones:
Al haber dos puntos de intersección, podemos decir que la recta y la circunferencia son secantes
B
Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones:
Al haber un solo punto de intersección entre la circunferencia y la recta, podemos decir que son tangentes
C
Planteamos un sistema de ecuaciones entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta para buscar sus intersecciones:
Al no existir puntos de intersección entre la recta y la circunferencia podemos decir que son exteriores
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
En el ejercicio número 7 hay un error. El las coordenadas de los focos aparece una “a” cuando debería ser “c”.
Una disculpa ya se corrigió.
encuentra en las coordenadas de los vértices y de los focos las longitudes de los ejes mayor y menor la distancia focal la longitud de cada uno de los lados rectos y la excentricidad de cada una de las elipses cuyas ecuaciones se dan a continuacion x^2/ 25+y^2/9=1
Halla la ecuacion de la parabola ordinaria general con elementos si su vertice está en (4,5) y su foco (7,5)
Dada la ecuación de la parábola. X2-8x-10y-4. Transformala en su forma ordinaria y comprueba su grafica con la de la figura
Determine si la gráfica de cada uno de las siguientes ecuaciones es una circunferencia,un punto o el conjunto vacío; si es la gráfica de una circunferencia dé el centro y el radio .
6×2+6y2-14x+7y-20=0
X2+y2+4x-2y+10=0
X2+y2+18x-20y+100=0
3×2+3y2-x-2y-1=
¿Cómo los puedo citar?
Puedes citar al grupo Superprof directamente 🙂
Una parábola horizontal con vértice en el origen pasa por el punto A(2,6)
Hallar la ecuación y elaborar la grafica
Qué condiciones debe cumplir “A” para que la ecuación: x2 + y2 + Ax – Ay – A2 = 0 tenga como gráfica una circunferencia? Dé las coordenadas del centro y el valor del radio.