Teorema de Cauchy

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe un punto c pertenece (a, b) tal que:

teorema de Cauchy

El valor del primer miembro es constante:

relación entre las derivadas

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.

Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.

Ejemplos

 1  Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:

f(x) = x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 20x − 5.

En caso afirmativo, aplicarlo.

Las funciones f(x) y g(x) son continuas y derivables en R por ser polinómincas, luego, en particular, son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4) .

Además se cumple que g(1) ≠ g(4).

Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:

teorema de Cauchy

Despejando

solución

comprobación


 2  Analizar si el el teorema de Cauchy es aplicable a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervalo [0, π/2].

Las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas y derivables en toda la recta real.

Y en particular son continuas en el intervalo [0, π/2] y derivables en (0, π/2).

g(π/2) ≠ g(0)

Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Cauchy:

teorema de Cauchy

Despejando

solución

g' (c) ≠ 0 −sen(π/4) ≠ 0.