Teorema de Cauchy
Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c 
(a, b) tal que:
El valor del primer miembro es constante:
La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.
Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.
Ejemplos
Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:
f(x) = x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 20x − 5.
En caso afirmativo, aplicarlo.
Las funciones f(x) y g(x) son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4) por ser polinómicas, además se cumple que g(1) ≠ g(4).
Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:
Analizar si el el teorema de Cauchy es aplicable a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervalo [0, π/2].
Las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas y derivables en toda la recta real.
Y en particular son continuas en el intervalo [0, π/2] y derivables en (0, π/2).
g(π/2) ≠ g(0)
Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Cauchy:
g' (c) ≠ 0 −sen(π/4 ) ≠ 0.
