¡Bienvenido a nuestra página dedicada a ejercicios de máximos y mínimos! En este espacio, exploraremos el apasionante campo de la optimización matemática y te brindaremos los conocimientos y las estrategias necesarias para resolver problemas que involucran encontrar los valores máximos y mínimos de funciones.

Los problemas de máximos y mínimos se encuentran en diversas áreas, como la física, la economía, la ingeniería y muchas otras. Estos desafíos nos invitan a encontrar los puntos críticos de una función, donde la pendiente es cero, y determinar si esos puntos corresponden a máximos o mínimos locales.

Aquí, aprenderás a identificar las características clave de una función que te permitirán determinar sus máximos y mínimos. Haremos esto presentándote una amplia variedad de ejercicios, los cuáles resolveremos utilizando el criterio de la segunda derivada.

Nuestro objetivo es ayudarte a desarrollar tu capacidad para encontrar soluciones óptimas, fortalecer tu razonamiento analítico y promover tu confianza en las matemáticas. Disfruta y aprende con los distintos ejercicios, junto con las explicaciones claras y detalladas que hemos creado para ti. ¡Vuélvete todo un experto en calcular máximos y mínimos de funciones!

Utilizar el criterio de la segunda derivada para calcular los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones:

 

1

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

 

Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación , es decir . Las soluciones de esta ecuación son .

 

Finalmente se evalúa  en los puntos críticos  y determinar si o .

Tenemos entonces que

 

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función tiene un mínimo local en  y un máximo local en . Los valores correspondientes de la función son:

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función  propuesta.

 

Gráfica de la función  f(x)=x³ − 3x + 2

2

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

 

Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación , es decir . Las soluciones de esta ecuación son .

Finalmente se evalúa  en los puntos críticos   y determinar si o . Tenemos entonces que

 

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función  tiene un máximo local en  y un mínimo local en . Los valores correspondientes de la función son:

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función  propuesta.

Gráfica de la función  f(x)=3x-x³

3

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

 

Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación , es decir . Las soluciones de esta ecuación son .

Finalmente se evalúa   en los puntos críticos y determinar si o . Tenemos entonces que

 

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función  tiene un máximo local en  y dos mínimos locales en y . Los valores correspondientes de la función son:

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función propuesta.

 

grafica de la funcion x^4-8x^2+3

4

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

 

 

 

Ahora encontremos el punto crítico a través de la solución de la  ecuación , es decir , cuya solución es .

Finalmente se evalúa   en el punto crítico y determinar si o . Tenemos entonces que

 

 

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función  tiene un mínimo local en  . El valor correspondiente de la función es:

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función  propuesta.

gráfica de f(x)

5

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación , es decir .  Las soluciones de esta ecuación son .

Finalmente se evalúa   en los puntos críticos y determinar si o . Tenemos entonces que

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función  tiene un máximo local en  y un mínimo local en . Los valores correspondientes de la función son:

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función  propuesta.

Gráfica de la función f(x)=exp(x)(2x²+x-8

6

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

 

Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación
, es decir.  Las soluciones de esta ecuación son , sin embargo, dado que el dominio de la función es , es claro que
(esto debido a que ).  Por lo tanto, el único punto crítico a considerar es
.

Finalmente se evalúa  en el punto crítico y determinar si o . Tenemos entonces que

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función  tiene un máximo local en . El valor correspondiente de la función es:

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función  propuesta.

Gráfica de la función f(x)=x+ln(x²-1)

7

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

 

Ahora encontremos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación
, es decir . Para esto, sea , entonces tenemos , cuyas soluciones están dadas por:

Luego, regresando a la variable original tenemos que los puntos críticos están dados por:

Ahora se evalúa   en los puntos críticos y determinar si o . Para esto, consideremos dos casos:

 

Si (par), entonces
, por lo que

 

Si (impar), entonces
, por lo que

 

Por lo tanto, por el criterio de la segunda derivada, la función  tiene sus máximos locales en  y los mínimos locales  en .

 

Además los valores correspondientes para la función son:

 

 

La siguiente Figura muestra la gráfica de la función  propuesta.

 

Gráfica de la función f(x)=sen(2x

8

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

 

Ahora encontramos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación

Tenemos entonces que

Las soluciones a esta ecuación son y . Así, solo tenemos dos puntos críticos

Finalmente, se evalúa  en el punto crítico y determinar si o .

Tenemos entonces que

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función  tiene un mínimo local en , es decir, en el punto

Ahora evaluamos en el segundo punto crítico:

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función  tiene un máximo local en , es decir, en el punto

La siguiente figura muestra la gráfica de la función  propuesta.

 

maximos y minimos - racional

9

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

 

Ahora encontramos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación

Tenemos entonces que

Las soluciones a esta ecuación, para , son y . Así, solo tenemos dos puntos críticos

Finalmente, se evalúa  en el punto crítico y determinar si o .

Tenemos entonces que

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función  tiene un máximo local en , es decir, en el punto

Ahora evaluamos en el segundo punto crítico:

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función  tiene un mínimo local en , es decir, en el punto

La siguiente figura muestra la gráfica de la función  propuesta.

 

maximos y minimos - trigonometrica

10

Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:

 

Ahora encontramos los puntos críticos a través de la solución (o soluciones) de la  ecuación

Tenemos entonces que

La solución a esta ecuación es . Así, solo tenemos un punto crítico

Finalmente, se evalúa  en el punto crítico y determinar si o .

Tenemos entonces que

Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función  tiene un máximo local en , es decir, en el punto

La siguiente figura muestra la gráfica de la función  propuesta.

maximos y minimos- exponencial

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗